Предел функции в точке. Теорема о единственности предела и об ограниченности функции, имеющей предел. Бесконечно малые величины. Теорема о сумме. Предел функции в точке. Объем тела вращение и площадь поверхности тела вращения. Формула Грина, страница 5

Достаточное условие перегиба графика

Пусть y=f(x) дважды дифференцирована в окрестности т. х₀ и f’’(х) непрерывна и меняет знак в окрестности  х₀, тогда х₀ –точка перегиба графика функции

22.Асимптоты графика функции

Опр: х= х₀ называется вертикальный асимптотой графика функции y=f(x) если хоты бы один из пределов слева или справа равен

Определение: y=kx+b назыв наклонной асимптотой графика функции y=f(x)

Если |f(x)-y|-> при х→

                            -----

Утверждение:y=kx+b- наклонная асимптота графика функции y=f(x) <=> f(x)= kx+b+α(х) где α(х)- б.м при х→

23. N-мерное пространство. Основные множества в n-мерном пространстве. Внутренние и внешние точки множества. Граница множества. Область.

“Основные” множество в пространстве ------

Если n=2---

круг без границ

открытый шар радиуса б-окрестности т.

*Точка         называется внутренней точкой множества Д, если она содерж. в Д вместе с некоторой своей окрестности

*Точка         наз. внешней точкой множества Д, если          окрестность в т.          не содерж точек множества Д

*Точка        называется граничной точкой множества Д, если любая ее окрестность сод как точки из множества Д так и тачек не принадлед Д

*мн-во граничных точек наз границей мн-ва Д     Г.

*мн-во Д наз открытым, если все его точки внутренние (1;2)

*замкнутое мн-во                       [0;1]

*мн-во Д наз. связным если любые две точки из Д можно соед непрерывной кривой, не выходя из множества Д

кол-во не пересек компонентов границ образуют порядок связности

- двусвязное мн-во

* Мн-во наз-ся односвязным если любую замкнутую кривую без самопересеч (леж в мн-ве) можно стянуть в точку, не границы мн-ва

* наз-ся ограниченным если  такой что

пример                                                        мн-во замкнуто но не ограничено

*Областью наз-ся открыное непустое связное множество

                                                                  замкнутый шар в

n мерный открытый параллелепипед

24.Предел ф-ии многих перемен. Непрерывность

Число А называется пределом ф-ии

                                    при                       если                       , ,  =>

                                            

для случая n=2

z=f(x,y)

                                       ,,                

 =>

непрерывность. Опр. Пусть z=f(x,y) определена в т. x₀ и в некой ее окрестности

f(x,y) наз. непрер в т.                 если                                                #

положим                              

Функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности т.                   называется непрерывной в ней, если

Аналог теоремы Вейерштрасса

Т1. Если f(x,y) непрерывна на замкнутом, ограниченным множестве то она ограничена на нем

Т2. Если f(x,y) непрерывна на замкнутом, ограниченным множества то она достигает на нем свое наибольшее (наименьшее) значение

Т3. Непрерывна на замк ограниченном мн-ве функция принемает на нем промеж знач между наиб и наименьшем.

25.Частные производные функции многих переменных

z=f(x,y)   

частные приращение

полн

Опред: Если                                  то назыв частной производной f(x,y) по x в т.                    и

 

Обозначается                     y=const   Аналогично                                     x=const

Теорема ( необходимое условие дифф-сти)

Пусть z=f(x,y)  дифф-ма в т.                тогда                    и

Док-во:

  -----------  положим  

                                                             -----------------

Аналагично

Теорема ( достаточное условие дифф-сти)

Пусть       и         и непрерывные в т.                тогда f(x,y)  дифф-ма в т.

Док-во:

 - применим аналог т.Лагранжа