Квантовая химия как наука. Математический аппарат в квантовой химии. Решение волнового уравнения для некоторых частных случаев одномерного движения частицы, страница 3

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1.1. Волновая функция.

Волновая функция - это функция состояния электрона (электронов или других элементарных частиц), которая полностью определяет динамические свойства системы. Волновая функция зависит от координат и времени. В общем виде функция состояния системы (волновая функция) записывается в следующем виде

Y(q₁, q₂ ... q_n, t).

Часто зависимость от времени исключают (Y(q₁, q₂ ... q_n)). Здесь аргументы q₁, q₂ ... q_n есть координаты пространства и проекция спина одной или нескольких микрочастиц. При этом в отличие от классической механики координаты x_i, y_i, z_i рассматриваются не как функция времени, а как независимые переменные. В квантовой механике волновую функцию находят путем решения волнового уравнения (в частности уравнения Шредингера). При этом применяют только регулярные функции, т.е. функции, подчиняющиеся следующим условиям:

1. Конечность во всем пространстве. В противном случае невозможно определить параметры системы в тех точках, где волновая функция обращается в бесконечность.

2. Однозначность. В любой точке пространства функция принимает одно единственное значение.

3. Непрерывность. Нет разрывов. Функция определена при любых значения аргументов.

В качестве примера рассмотрим волновую функцию для свободного электрона, которая описывает состояние плоской монохроматической волны, распространяющуюся вдоль координаты X

Y = (1.1)

где l - длина волны, n - частота. В зависимости от начальных граничных условий вместо sin может быть cos. В случае стоячей волны вид функции принимает вид

Y= или Y= . (1.2)

В приведенных записях учитывается как положение в пространстве, так и зависимость от времени. В дальнейшем мы будем иметь дело только с функциями, не зависимыми от времени.

В квантовой механике волновая функция представляет собой амплитуду распределения вероятности положения частицы (аналог амплитуды для волнового движения в классической механике). Вероятность найти частицу около точки x - =, а в объеме dt - .

Отметим некоторые свойства волновых функций. Так, если Y - решение волнового уравнения, то и Y₁ = СY (где С - константа) является решением этого волнового уравнения.

Другим свойством волновой функции является принцип суперпозиции. Если система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями Y₁ и Y₂ (решения волнового уравнения), то она может находиться и в состоянии Y = aY₁ + bY₂. где a и b простые числа (т.е. Y также решение исходного уравнения). Это легко показать подстановкой новой волной функции в исходное волновое уравнение.

Примером принципа суперпозиции является волновая функция свободного электрона

Y = A( + ) = A. (1.3)

Используя принцип суперпозиции можно получить волновые функции для p-состояния атома (три независимые друг от друга функции).

Y₊₁ = (x + iy); (1.4)

Y_-1 = (x - iy); (1.5)

Y_o = z, (1.6)

где - сферически симметричная волновая функция (соответствует s-состоянию атома). = e^-ar.

При расчётах в квантовой химии используют нормированные волновые функции. Нормировка волновой функции заключается в определении нормировочного множителя (множителей). Произведём нормировку волновой функции, соответствующей s-электрону в атоме, Y = , т.е. определим множитель С.