МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
"ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ"
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к лабораторной работе № 7 "Дискретное преобразование Фурье"
по курсу "Обработка сигналов и изображений"
для студентов специальностей 7.091501, 7.091502, 7.091503 дневной формы обучения
ХАРЬКОВ НТУ "ХПИ" 2006
1. ЦЕЛЬ ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
Получение практических навыков в преобразовании входных цифровых сигналов с временной в частотную область, реализованных в пакете MatLab.
2. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Непрерывные преобразования
Фурье требуют больших вычислительных затрат при их осуществлении.
Кроме того, в век цифровых технологий непрерывные сигналы
повсеместно вытесняются дискретными и цифровыми сигналами. Поэтому
основой практической реализации спектрального анализа Фурье является алгоритм дискретного
преобразования Фурье - ДПФ. Полученная совокупность оцифрованных
выборок косинусоидального
и синусоидального
преобразования подаются на устройство,
осуществляющее дискретное преобразование в соответствии с соотношением:
(1)
Здесь
спектральная плотность напряжения
той гармоники последовательности
Найденная совокупность комплексных чисел представляет собой дискретную выборку
спектральной плотности напряжения огибающей колебаний
.
Далее полученная спектральная плотность перемножается с частотной
характеристикой фильтра. Ее значение представляет преобразование Фурье от
импульсной характеристики. Результат перемножения в виде совокупности комплексных
чисел
представляет спектральную плотность
напряжения на выходе фильтра. Для получения временной структуры выходного
сигнала необходимо осуществить обратное преобразование Фурье вида:
. (2)
Остановимся на физической трактовке рассматриваемого
преобразования. При выражение имеет вид:
.
(3)
Так как экспоненциальный множитель (1) при равен единице при всех значениях
, выражение (3) представляет собой с
точностью до константы среднее значение всех
выборок
Это значение определяет амплитуду гармоники
нулевой частоты спектральной плотности
.
Соответственно при
выражение для ДПФ имеет вид:
.
(4)
Значение означает амплитуду
первой гармоники найденного дискретного преобразования. Заметим, что
представленное преобразование позволяет оценить амплитуды
гармоник, начиная с нулевой и до
ой. Действительно, задавая
, легко убедиться, что в силу периодичности
экспоненциальной функции
. Иначе для значений
полученные значения
повторяются.
Остановимся на физической сущности найденных значений и ее связи с реальной спектральной
плотностью напряжения. Для этого проанализируем экспоненциальный множитель
. Умножим числитель и знаменатель
показателя степени на интервал дискретизации
.
Показатель степени представим в виде:
. Знаменатель
представляет
время наблюдения
принимаемой реализации,
текущее дискретное время. В этом случае
значение
может быть записано в виде
(5)
При этом значение частоты той
гармоники равна
Герц. Конкретные значения частот
гармоник и их количество, полученное путем ДПФ, рассмотрим на простом примере.
Допустим время наблюдения равно
мкс, интервал дискретизации
мкс. Тогда количество выборок
. Частота
той
гармоники реального сигнала равна
кГц. Последняя гармоника
частоты 1,9 МГц. Спектральные линии отстоят друг от друга по оси частот с интервалом
100 кГц.
Таким образом, дискретное преобразование Фурье совокупности дискретных выборок наблюдаемой реализации
позволяет оценить
дискретных
значений спектральной плотности напряжения
,
равномерно расположенных в диапазоне частот от нуля до
(
частота дискретизации) с интервалом
. Полученная спектральная плотность
напряжения повторяется с периодом
.
Вычисление ДПФ по ранее приведенному соотношению (4) требует
весьма большого числа операций: примерно операций
умножения и
операций сложения. При большом значении
такой алгоритм потребует большего бюджета
времени для решения задачи фильтрации и последующего обнаружения сигнала и
оценки его параметров.
Количество операций умножения (самых продолжительных в вычислительных устройствах) окажется даже для самой простой задачи большим. Поэтому необходим поиск способов, позволяющих сохранять преимущество цифровой обработки в частотной области по сравнению с временной, и требующих меньших временных затрат. В настоящее время разработан ряд алгоритмов вычисления ДПФ при значительном сокращении бюджета времени, называемые алгоритмами быстрого преобразования Фурье (БПФ).
Остановимся на одном из алгоритмов БПФ, обеспечивающем
выигрыш по операции умножения в раз по сравнению с
ДПФ. Такой выигрыш достигается в случае, когда величина
выбирается
кратной
. Здесь
– целое
число. Приведенное ранее выражение для ДПФ (4) представим в виде:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.