Дискретное преобразование Фурье: Методические указания к лабораторной работе № 7 по курсу "Обработка сигналов и изображений"

1. ЦЕЛЬ ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ

Получение практических навыков в преобразовании входных цифровых сигналов с временной в частотную область, реализованных  в пакете MatLab.

2. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Непрерывные преобразования Фурье требуют больших вычислительных за­трат при их осуществлении. Кроме того, в век цифровых технологий непрерывные сигналы повсеместно вытесняются дискретными и цифровыми сигналами. Поэто­му основой практической реализации спектрального анализа Фурье является алго­ритм дискретного преобразования Фурье - ДПФ. Полученная совокупность  оцифрованных выборок косинусоидального  и синусоидального  преобразования подаются на устройство, осуществляющее дискретное преобразование в соответствии с соотношением:

                                       (1)

Здесь спектральная плотность напряжения той гармоники последовательности

Найденная совокупность комплексных чисел  представляет собой дискретную выборку спектральной плотности напряжения огибающей колебаний . Далее полученная спектральная плотность перемножается с частотной характеристикой фильтра. Ее значение представляет преобразование Фурье от импульсной характеристики. Результат перемножения в виде совокупности комплексных чисел  представляет спектральную плотность напряжения на выходе фильтра. Для получения временной структуры выходного сигнала необходимо осуществить обратное преобразование Фурье вида:

.                                                (2)

Остановимся на физической трактовке рассматриваемого преобразования. При  выражение имеет вид:

.                                                  (3)

Так как экспоненциальный множитель (1) при  равен единице при всех значениях , выражение (3) представляет собой с точностью до константы среднее значение всех  выборок  Это значение определяет амплитуду гармоники нулевой частоты спектральной плотности . Соответственно при  выражение для ДПФ имеет вид:

.                                            (4)

Значение  означает амплитуду первой гармоники найденного дискретного преобразования. Заметим, что представленное преобразование позволяет оценить амплитуды  гармоник, начиная с нулевой и до ой. Действительно, задавая , легко убедиться, что в силу периодичности экспоненциальной функции  . Иначе для значений  полученные значения  повторяются.

Остановимся на физической сущности найденных значений  и ее связи с реальной спектральной плотностью напряжения. Для этого проанализируем экспоненциальный множитель . Умножим числитель и знаменатель показателя степени на интервал дискретизации . Показатель степени представим в виде: . Знаменатель  представляет время наблюдения  принимаемой реализации,  текущее дискретное время. В этом случае значение  может быть записано в виде

                                          (5)

При этом значение частоты той гармоники равна  Герц. Конкретные значения частот гармоник и их количество, полученное путем ДПФ, рассмотрим на простом примере. Допустим время наблюдения равно мкс, интервал дискретизации мкс. Тогда количество выборок .  Частота той гармоники реального сигнала равна кГц. Последняя гармоника частоты 1,9 МГц. Спектральные линии отстоят друг от друга по оси частот с интервалом 100 кГц.

Таким образом, дискретное преобразование Фурье совокупности  дискретных выборок наблюдаемой реализации  позволяет оценить  дискретных значений спектральной плотности напряжения , равномерно расположенных в диапазоне частот от нуля до  (частота дискретизации) с интервалом . Полученная спектральная плотность напряжения повторяется с периодом .

Вычисление ДПФ по ранее приведенному соотношению (4) требует весьма большого числа операций: примерно  операций умножения и  операций сложения. При большом значении  такой алгоритм потребует большего бюджета времени для решения задачи фильтрации и последующего обнаружения сигнала и оценки его параметров.

Количество операций умножения (самых продолжительных в вычислительных устройствах) окажется даже для самой простой задачи большим. Поэтому необходим поиск способов, позволяющих сохранять преимущество цифровой обработки в частотной области по сравнению с временной, и требующих меньших временных затрат. В настоящее время разработан ряд алгоритмов вычисления ДПФ при значительном сокращении бюджета времени, называемые алгоритмами быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Остановимся на одном из алгоритмов БПФ, обеспечивающем выигрыш по операции умножения в  раз по сравнению с ДПФ. Такой выигрыш достигается в случае, когда величина  выбирается кратной . Здесь  – целое число. Приведенное ранее выражение для ДПФ (4) представим в виде: