Оптические и фотоэлектрические явления в полупроводниках, страница 8

где N(k)dk – количество состояний в валентной зоне с квазиимпульсом в промежутке от k k+dk, P(k) – вероятность перехода электрона с соответствующим импульсом из валентной зоны в зону проводимости под воздействием переменного электромагнитного поля. Ее можно вычислить по теории возмущений, как соответствующий матричный элемент [1.7]. Так как мы будем рассматривать переходы вблизи края поглощения, kизменяется весьма незначительно, в сравнении с зоной Бриллюэна, поэтому зависимостью вероятности P от квазиимпульса можно пренебречь.

В единичном объеме, число состояний определяется фазовым объемом (с учётом «спиновой» двойки) сферы, ограниченной радиусами от k k+dk:

        ()                7.20

                                                                                  7.21

Из уравнения 7.18:

                                                                                        7.22

Тогда:

                       7.23

(k взято из формулы 7.18):

Таким образом, из формулы 7.19, зависимость коэффициента поглощения от энергии фотона следующая:

                                                                   7.24

здесь A – константа, также следует обратить внимание, что при , коэффициент поглощения равен нулю. Обратим также внимание на зависимость коэффициента поглощения вблизи края фундаментального поглощения от приведенной массы. Чем меньше эффективная масса носителей заряда, тем меньше коэффициент поглощения. Прямозонные полупроводники отличаются резким краем поглощения.

Отметим, что вполне возможна ситуация, когда в полупроводнике с прямозонной структурой прямые переходы запрещены правилами отбора по симметрии. Для выполнения правил отбора по симметрии необходимо участие в рассеянии ещё одной квази частицы – например фонона. Вероятность поглощения при этом, естественно, будет меньше, чем в случае разрешённых переходов.

1.2) Поглощение в непрямозонных полупроводниках.

В отличие от прямых переходов, закон сохранения квазиимпульса при непрямых переходах может быть выполнен только при участии еще одной квазичастицы (фонона), либо при смягчении правил отбора по квазиимпульсу, связанным с какими либо нарушениями трансляционной симметрии (дефектами решетки). Рассмотрим непрямые переходы с участием фононов. Вероятность таких переходов намного меньше вероятности прямых переходов, и зависимость коэффициента поглощения от энергии фотона также другая. Возможны процессы с поглощением, либо с испусканием фонона. Рассмотрим самую простую ситуацию, когда в процессе поглощения участвует один тип фононов (реально могут участвовать оптические либо акустические фононы с различной поляризацией – поперечные и продольные). Пусть разница между положениями волновых векторов потолка валентной зоны и дна зоны проводимости – k (см. рис. 7.5). Пусть энергия фонона – E_p. Вообще говоря, она зависит от волнового вектора, но так как мы рассматриваем переходы вблизи края поглощения, то волновой вектор фонона почти не отличается от k. Рассмотрим процесс с поглощением фонона. В отличие от прямых переходов, электрон из состояния вблизи потолка валентной зоны может перейти в процессе рассеяния не в строго определенное состояние (с таким же волновым вектором), а, в целый набор состояний (с волновым вектором вблизи дна зоны проводимости), удовлетворяющих закону сохранения энергии.

                                                                  7.25

здесь энергия электрона E_e отсчитывается от дна зоны проводимости, а энергия образовавшейся дырки E_h от потолка валентной зоны (при этом, чем ниже положение дырки, тем больше ее энергия). Коэффициент поглощения пропорционален вероятности поглощения фотона в единицу времени, которая, в свою очередь, пропорциональна произведению количества начальных и конечных состояний. По закону сохранения энергии, в процессе рассеяния могут участвовать электроны валентной зоны, лежащие не ниже потолка на величину . Необходимо учесть (проинтегрировав) все возможные переходы:

                                     7.26

Вспомним, как плотность состояний N зависит от энергии и эффективной изотропной массы.