Основні проблеми чисельного розв’язання задач. Класифікація похибок

Вступ

Сучасний стан дослідження різноманітних процесів, що взаємодіють між собою, вимагає обґрунтування та побудови складних обчислювальних алгоритмів. З цією метою використовується широкий арсенал чисельних методів. Чисельними методами називають такий розділ математики, у якому предметом вивчення є методи одержання числових, з певним ступенем точності, розв’язків задач, що виникають як у самій математиці, так і в різних її додатках. Неточні (наближені) розв’язки прикладних задач заміняють їх точні розв’язки у практичних або теоретичних застосуваннях.

Створення й удосконалення швидкодіючої обчислювальної техніки дозволило розв’язати багато актуальних і складних прикладних задач, сприяло тому, що чисельні методи перетворилися в життєво необхідну сферу знань. З іншого боку, розвиток обчислювальної техніки став стимулом для критичної переоцінки та вдосконалення існуючих і створення нових чисельних методів. Найважливішим чинником при оцінці ефективності будь-якого чисельного методу в наш час є зручність його реалізації на ЕОМ. Оскільки більшість прикладних задач розв’язується на ЕОМ і надалі кількість таких задач буде збільшуватися, однією з основних проблем є подальше вдосконалення принципів і прийомів користування ЕОМ, полегшення спілкування людини з машиною.

У запропонованому Вашій увазі посібнику викладаються основні групи методів, що найчастіше застосовуються для чисельної реалізації прикладних задач. Розглядаються теоретичні основи методів, оцінки отриманих результатів та комп’ютерна реалізація чисельних алгоритмів. Для адаптації алгоритмів до різноманітних мов програмування, що використовуються зараз, пропонується використання псевдокоду. Псевдокод являє собою систему позначень і правил, призначену для одноманітного запису алгоритмів. З одного боку, він близький до звичайної природної мови, тому алгоритми можуть на ньому записуватися і читатися як звичайний текст. З іншого, - у псевдокоді використовуються деякі формальні конструкції і математична символіка, що наближає запис алгоритму до загальноприйнятого математичного запису. У псевдокоді не прийняті строгі синтаксичні правила для запису команд, властиві формальним мовам, що полегшує запис алгоритму на стадії його проектування і дає можливість використовувати більш широкий набір команд, розрахований на абстрактного виконавця. Однак використовуються деякі конструкції, властиві формальним мовам, що полегшує перехід від запису на псевдокоді до  алгоритму формальною мовою.

Викладення методів та алгоритмів супроводжується прикладами чисельного розв’язання задач із використанням сучасних програмних пакетів, таких як Mathcad, Excel тощо. До кожного розділу посібника наводяться контрольні питання та завдання. Все це може зробити його корисним для використання як з метою ознайомлення з чисельними методами, так і для їх практичного застосування для розв’язання конкретних прикладних задач.

Розділ 1

Основні проблеми чисельного розв’язання задач

При застосуванні чисельних методів розв’язки задач виявляються, як правило, наближеними. Пояснюється це в багатьох випадках тим, що точні методи їх розв’язання дотепер невідомі. Крім того, навіть при застосуванні точного методу задовольняються наближеним розв’язком, зокрема, з таких причин:

— точний розв’язок виявляється трудомістким; тоді як наближений при істотно меншому об'ємі обчислень виявляється цілком прийнятним за своїм характером;

— точність отриманого результату не відіграє істотної ролі, тому що в будь-якому разі заокруглюється до цілого числа (наприклад, при визначенні кількості механізмів, необхідних для виконання даного обсягу робіт).

Наближений розв’язок задачі повинен «не набагато відрізнятися» від точного розв’язку, інакше ним не можна скористатися з конкретною метою. Що означає термін «не набагато відрізняється» або, інакше кажучи, що варто розуміти під неточністю (наближеністю) розв’язку? Кожен чисельний метод дозволяє оцінювати ступінь неточності розв’язку, одержуваного цим методом. У курсі чисельних методів ступінь неточності розв’язку характеризується поняттям похибки розв’язку. Потрібно зазначити, що теорія похибок є одним із основних розділів обчислювальної математики. Очевидно, що відхилення наближеного результату від точного напряму залежить від коректності поставленої задачі та від наявних вхідних даних. Тому актуальним є дослідження збіжності наближеного розв’язку, що пропонує чисельний алгоритм, до точного розв’язку поставленої задачі .

Таким чином, основними проблемами чисельного розв’язання задач можна вважати:

-проблему оцінки похибки наближеного розв’язку;

-проблему коректності та обумовленості поставленої задачі;

-проблему збіжності наближеного методу до точного.

1.1  Класифікація похибок

При розв’язанні прикладних задач дуже важливо мати уявлення про точність отриманих результатів. Похибки, що можуть бути закладені в таких результатах, утворюються з багатьох причин.