Основні проблеми чисельного розв’язання задач. Класифікація похибок, страница 6

1.7 Обумовленістьобчислювальної задачі

Під обумовленістю обчислювальної задачі розуміють чутливість її розв’язку до малих похибок вхідних даних. Нехай установлена нерівність , де  - абсолютна похибка вхідних даних, а  - абсолютна похибка розв’язку. Тоді  називається абсолютним числом обумовленості задачі. Якщо ж установлена нерівність  між відносними похибками даних і розв’язку, то  називають відносним числом обумовленості задачі.

Як правило, під числом обумовленості  розуміють відносне число обумовленості. Якщо  , то задачу називають погано обумовленою.

Як уже зазначалося основними джерелами похибок в обчислювальних задачах є помилки у вихідних даних, помилки округлення під час машинних обчислень і обмеження точності використовуваної обчислювальної схеми (відмінність обчислювальної схеми від чисельного методу цілком символічна – у випадку класичних завдань чисельного аналізу ми говоримо про чисельний метод, схему ж чисельного розв’язку конкретної прикладної задачі називаємо обчислювальною схемою). Похибки, що виникають через помилки у вхідних даних, і похибки, пов’язані з округленнями, є неусувними з погляду обчислювача. У той же час при конструюванні обчислювальної схеми ми маємо деяку свободу у виборі використовуваних чисельних методів, які відрізняються один від одного точністю та стійкістю.

Точність чисельного методу, як правило, визначається порядком використовуваного в ньому наближення. Наприклад, при інтегруванні замість методу прямокутників можна використовувати метод парабол , що має більш високий порядок і забезпечує кращу точність. Часто також у нашому розпорядженні є параметр, що дозволяє керувати точністю одержуваного розв’язку (у випадку чисельного інтегрування це крок інтегрування). Точність обчислювальної схеми, як правило, обирають так, щоб відповідна похибка була принаймні вдвічі меншою за неусувну похибку у вхідних даних.

Важливо також розуміти значення стійкості використовуваної обчислювальної схеми. Похибки у вхідних даних і похибки округлення можуть по-різному впливати на точність результату залежно від використовуваної схеми обчислень. Під стійкістю обчислювальної схеми розуміють її стійкість стосовно похибок у вхідних даних і похибок округлення – для стійкої схеми малі похибки в даних і типові похибки округлення не призводять в остаточному підсумку до більших похибок. У той же час використання нестійкої обчислювальної схеми може призвести до значного зростання похибки результату.

Нестійкість також може мати різну природу. Іноді нестійкість обумовлена сутністю розв’язуваної задачі. У цьому випадку говорять, що задача погано обумовлена або некоректна. Більшість так званих обернених задач є прикладом поганої обумовленості. У той же час навіть у випадку коректної (добре обумовленої) задачі невдалий вибір обчислювальної схеми може призвести до нестійкості. Отже,

· нестійкість може бути властива завданню (слабка обумовленість);

· навіть добре обумовлену задачу можна зіпсувати невдало підібраним чисельним методом.

1.8 Приклад втрати точності

Іноді втрата точності під час розв’язання задачі виявляється неминучою. Класичний приклад – пошук екстремуму функції.

Розглянемо задачу мінімізації функції  і припустимо, що мінімум досягається в точці t₀. В околі такої точки збільшення df функції  при збільшенні аргумента t на мале dt виражається так:

,

оскільки . Таким чином, в околі екстремуму збільшення функції пропорційно квадрату збільшення аргумента. З цього випливає принципова неможливість локалізувати екстремум точніше, ніж із половиною доступних значущих цифр – менші зміни аргумента не будуть приводити до помітної зміни значення функції.

Часто при розв’язанні рівняння  пропонується перейти до еквівалентної задачі пошуку мінімуму функції . Якщо мінімум досягається в точці t₀ і дорівнює нулю, то в цій точці рівняння має корінь. Легко зрозуміти, чому без достатніх підстав не варто застосовувати цей метод. Для лівої частини рівняння в околі простого кореня ми маємо представлення   і можемо локалізувати корінь із точністю, що збігається з точністю використовуваної машинної арифметики.

1.9 Погана обумовленість задачі