Неявні методи розв'язання жорстких задач

Розділ 10

Неявніметодирозв'язання жорсткихзадач

♦  Жорсткі системи диференціальних рівнянь

♦  Неявні однокрокові та багатокрокові методи

♦  Оцінювання похибок розв'язку

♦  Автоматичний вибір кроку і порядку методу

♦  Об'єднані явно-неявні методи

У цьому розділі розглядаються так звані жорсткі системи диференціальних рівнянь, що описують процеси, які містять швидкі й повільні складові. Функції розв'язку таких систем, як правило, мають дві області: з великими за модулем значеннями похідних та з малими. Це значно ускладнює обчислення розв'язку жорстких систем явними методами, такими як методи Рунге-Кутта чи Адамса, оскільки вони є умовно стійкими, що накладає певні обмеження на вибір кроку інтегрування. Для розв'язання таких систем застосовують неявні методи, у яких для обчислення розв'язку в кожній точці необхідно розв'язувати систему неліній­них рівнянь. Завдяки цьому крок можна вибирати значно більшим, ніж у разі застосування явних методів, розглянутих у розділах 8 і 9.

10.1. Поняттяжорсткостісистеми диференціальнихрівнянь

Для підвищення точності й адекватності математичних моделей складних об'єк­тів та процесів під час їх побудови потрібно враховувати велику кількість фак­торів і параметрів. Необхідність врахування в математичній моделі складових із великими і малими значеннями похідних від розв'язку неминуче спричинює так звану жорсткість рівнянь. Добре відомо, що в разі неврахування різного ро­ду «малих величин» у математичних моделях об'єктів і процесів реальна карти­на явища може бути істотно спотвореною. Тому дослідники змушені включати в моделі велику кількість другорядних, на перший погляд, факторів. У резуль­таті, як правило, підвищується порядок системи рівнянь моделі та її жорст­кість. Слід відмітити, що жорсткість є властивістю математичної задачі, а не са­мого чисельного методу.

Розглянемо спочатку лінійну систему диференціальних рівнянь (10.1) із пос­тійною, тобто не залежною від t, матрицею А:

                                                               (10.1)

Нехай ( …) — множина власних чисел матриці А. Система дифе­ренціальних рівнянь (10.1) із постійною матрицею тхт називається жорсткою, якщо система асимптотично стійка за Ляпуновим, тобто

, k = 1, 2, … m

а відношення найбільшої за модулем дійсної частини власного числа до най­меншої за модулем дійсної частини власного числа, тобто:

                                                                                        (10.2)

є досить великим.

Для лінійної системи, параметри якої змінюються в часі, тобто якщо А = A(t), власні значення і. відповідно, число жорсткості К також є функціями t, і ви­значення жорсткої системи може бути переформульоване в такий спосіб: система

 t>0                                                          (10.3)

називається жорсткою в інтервалі (0,Т), якщо для всіх tє (0,Т), виконується умова

, k = 1, 2, … m

і число

велике.

В основу визначення жорсткості нелінійної системи

 t>0                                                      (10.4)

покладено попереднє визначення лінійної системи зі змінними коефіцієнтами типу (10.3), де роль матриці A(t) відіграє матриця Якобі J для правої частини системи рівнянь (10.4).

Якщо об'єкт дослідження фізично стійкий, то

, k = 1, 2, … m                                                (10.5)

і модулі розв'язку  будуть згасати за умови зростання tіз швидкістю, про­порційною 1/Re(-λ_k). Цю величину часто називають локальною сталою часу системи. Мірою жорсткості задачі Коші є проміжок, в якому лежать її локальні сталі часу. Число жорсткості, як і число обумовленості матриці А, характеризу­ється виразом:

                                               (10.6)

Звичайно кажуть про жорсткість задачі Коші (10.1), якщо . Однак у кожному конкретному випадку різні значення K(J) можуть вважатися вели­кими. Проте максимальний крок обчислень для явних методів обмежений не­рівністю

                                                        (10.7)

де с - константа, яка залежить від умов задачі,  - максимальне власне чис­ло матриці Якобі.

Для використання виразів (10.7) і (10.6) необхідно знати максимальні зна­чення модулів власних чисел  або максимальні та мінімальні значення їх дійс­них частин . Величину  можна оцінити зверху за допомогою норми матриці, а їх дійсну частину — за допомогою сліду матриці Якобі (10.2). Щоб не обчислювати обернену матрицю , малі за модулем  можна також оці­нювати, виходячи з інтервалу інтегрування Т задачі Коші (10.1), заданого з ура­хуванням фізичних властивостей досліджуваного об'єкта чи процесу.

Жорсткі системи диференціальних рівнянь є математичними моделями склад­них об'єктів, великий діапазон зміни часових характеристик яких зумовлений фі­зичною природою самих об'єктів чи процесів у них. Прикладами моделей таких об'єктів можуть бути моделі, які створюються формальним об'єднанням систем із різними сталими часу (наприклад, моделі інерційного об'єкта і малоінерційного контролера). Однак у загальному випадку жорсткість може проявлятися в результаті об'єднання і взаємодії нежорстких систем. У цьому разі розв'язок об'єднаної системи може істотно відрізнятися від розв'язків окремих систем.