Неявні методи розв'язання жорстких задач, страница 4

Оскільки у формулі (10.18) застосовуються значення розв'язку, отримані вдвох попе­редніх точках, скористаємося результатами прикладу 10.1 — значеннями  та . Це не дуже точне значення впливає на точність усіх наступних обчислень. Тоді модифікована програма для пакета Mathematica набуде такого вигляду:

ln[]:= u[0] = 1; t[0] = 0; u[1] = 0.548962; m = 4; ;

              Do [{t[n] = t[0] + *n; f[n] = t[n+1]^2 – 15(u[n+1]^2;

u[n] = u[n+1] – 4*u(n)/3 + u[n-1]/3 - *2*f[n]/3;

 0[n] = u[n] /. U[n + 1]  x[n]; w = NSolve[0[n] = 0, x[n]];

u[n+1] = x[n] /. w[[2]];

              Print [“n = “, n , “t [“, n, ”] = ”, t[n], “u[“, n, ”] = “, u[n]], {n,1,m} ];

Отримані результати:

n = 1  t[1] = 0.1 u[1] = 0.548962

n = 2  t[2] = 0.2 u[2] = 0.307021

n = 3  t[3] = 0.3 u[3] = 0.194531

n = 4  t[4] = 0.4 u[4] = 0.146298

10.4. Багатокроковінеявніметодизмінногопорядку ізмінногокроку

Узагальнюючи формули (10.18)—(10.20), можна записати такий вираз для не­явного методу «диференціювання назад», відомого як формула Гіра зі змінним кроком t та змінним порядком k:

   k ≤ 6,                    (10.21)

звідки легко знаходиться уточнена формула апроксимації похідної:

   k ≤ 6,                                       (10.22)

Коефіцієнти у формулах (10.21) і (10.22), як буде показано нижче, об­числюють з урахуванням зміни кроку в процесі обчислень:

  j = 1,2,…, k   (10.23)

Оскільки вираз (10.21) відповідає нелінійному алгебраїчному рівнянню (не­відома величина м„+і присутня в його лівій і правій частинах одночасно), то для покращення збіжності методу Ньютона-Рафсона знаходять початкове на­ближення у вигляді прогнозованого значення:

                                           (10.24)

де коефіцієнти

 i = 1,…, k+1.(10.25)

Відома формула диференціювання назад Брайтона (BDF) відрізняється від формули Гіра (10.21) тим, що в ній замість значень функції використовують лише їх скінченні різниці:

      i = 1,2,…, k(10.26)

Тоді замість виразів (10.22) і (10.24) отримуємо еквівалентні співвідношення:

                                                                                      (10.27)

в яких коефіцієнти взаємозалежні:

                                                                                      (10.28)

Якщо від перших скінченних різниць функції перейти до різниць вищих по­рядків, то отримаємо співвідношення:

                                    (10.29)

                                                   (10.30)

в яких коефіцієнти й скінченні різниці високих порядків обчислюються за та­кими рекурентними формулами:

,                   ,                           (10.31)

10.5. Обчисленнякоефіцієнтівнеявних формулнаближення

Для ілюстрації методики обчислення значень коефіцієнтів використаємо фор­мулу (10.22):

На її основі побудуємо систему лінійних рівнянь для обчислення значень , по черзі застосовуючи цю формулу до послідовності поліномів:

            m = 0,1,2,…,k

Формула (10.22) дозволяє знайти точні значення похідних від цих поліномів

поки їх порядок не перевищує порядок самої формули k. Для поліномів зро­стаючого порядку послідовно обчислюємо значення функції та її похідної:

m = 0                

m = 1                

m = 2                           (10.32)

…             …   …   …                       …  …   …

m = k                

Підставляючи знайдені значення (10.32) в розгорнуту формулу (10.22)

будуємо шукану систему лінійних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів:

m = 0          

m = 1     

…            …   …   …          

m = 0      

Оскільки порядок формули дорівнює 2, то шукана система лінійних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів за постійного кроку формується у вигляді: