Методические указания к решению задач практических заданий, страница 9

Результат измерения: L_x = 5 мГн; σ_Lx = 0,007 мГн.

15. Задача 15, как и предыдущая, так же относится к косвенным методам измерения и определению их погрешностей. Но имеется ряд отличий: неизвестная величина Y связана с непосредственно измеряемыми величинами более сложными зависимостями; заданы предельные значения относительных погрешностей, что автоматически предполагает алгебраическое суммирование частных погрешностей.

Все 20 вариантов этой задачи можно разбить на три группы:

1.функциональная связь между искомой Y и непосредственно измеряемыми величинами представляет собой сумму аргументов (варианты 15.1. и 15.2);

2.функциональная связь между искомой Y и непосредственно измеряемыми величинами представляет собой произведение или частное (варианты 15.6 ÷ 15.10, 15.12, 15.14, 15.16 ÷ 15.18, 15.20).

3.функциональная связь между искомой Y и непосредственно измеряемыми величинами включает и сумму и произведение (варианты 15.3 ÷ 15.5, 15.11, 15.13, 15.15, 15.19).

При определении погрешности в задачах первой группы следует использовать упрощение метода частных производных для суммы аргументов: 

Y = aX₁ + bX₂  + сX₃ + …

При определении погрешности в задачах второй группы следует использовать упрощение метода частных производных для произведения или частного аргументов:

Y = KX^a₁X^b₂X^c₃ …

При определении погрешности в задачах третьей группы следует использовать метод частных производных в общем виде.

Теоретический материал изложен в параграфе 2.4.8. конспекта лекций.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Результат косвенного измерения неизвестной величины Y связан с непосредственно измеряемыми величинами (X₁, X₂, X₃) следующим соотношением: Y = 2X₁ + 4X₂  + 6X₃,  где X₁ = 100, X₂  = 10, X₃ = 1. Предельные относительные погрешности равны: δ₁ = ± 0,1%, δ₂ = ± 0,5%,   δ₃ = ± 2%. Величины X₁, X₂, X₃ некорректированы. Найти значение Y, предельные значения абсолютной и относительной погрешности и записать результат измерения с учетом погрешности.

Определим значение неизвестной величины:

Y = 2X₁ + 4X₂  + 6X₃ = 2 · 100 + 4 · 10 + 6 · 1 = 246.

Предельная абсолютная погрешность Y в этой случае будет равна:

Δ(Y) = ± [aΔ₁ +  bΔ₂   + cΔ₃],  где:

a, b, с – коэффициенты в правой части уравнения;

Δ₁, Δ₂, Δ₃  - предельные абсолютные погрешности аргументов, которые нужно определить:

Δ₁ = ± 0,1 · 100/100 = ±0,1;

Δ₂ = ± 0,5 · 10/100 = ±0,05;

Δ₃ = ± 2 · 1/100 = ±0,02.

Тогда:

Δ (Y) = ± [2 · 0,1 + 4 · 0,05 + 6 · 0,02] = 0,52.

Предельная относительная погрешность: