Моделирование и оценивание характеристик сложных систем, страница 3

         При анализе свойств бинарных отношений важное значение имеет введение понятий проекции и сечения. При интерпретации бинарных отношений с помощью их представления в декартовой системе координат данные понятия приобретают известный геометрический смысл.

Определение 2.19.  Левой (правой) проекцией пары  на множество (ось)  () является элемент    (соответственно )

, 

Определение 2.20.  Левой проекцией графика  на множество (ось)  называют такое подмножество , которое включает первые элементы пар, удовлетворяющих бинарному отношению  .

Математически это записывается следующим образом.

Левое множество (множество ) еще называется областью определения (или областью отправления) отношения .

Определение 2.21.  Правой проекцией графика  на множество (ось)  называют такое подмножество , которое включает вторые элементы пар, удовлетворяющих бинарному отношению .

Математически это записывается следующим образом.

Правое множество (множество ) еще называется областью значений (или областью прибытия) отношения .

Определение 2.22.  Левым сечением (срезом)  графика  по элементу  (левым сечением по ) называется множество таких элементов , для которых существуют пары .

Определение 2.23.  Правым сечением (срезом)  графика  по элементу  (правым сечением по ) называется множество таких элементов , для которых существуют пары .

Определение 2.24.  Множество левых сечений графика  называется фактор-множеством  по графику  и обозначается , а множество правых сечений  — фактор-множеством  по графику  (отношению ) и обозначается .

Пример. ;   

, , , 

, , ,

, ,

, .

Определение 2.25.  Бинарное отношение  называется всюду определенным слева (справа), если левая (правая) проекции графика  совпадают с множеством  (соответственно ). Если же имеет место  (), то отношение  является не всюду определенным слева (справа).

Определение 2.26.  Бинарное отношение  называется однозначным слева (справа), если каждое левое сечение по элементам ,  (правое сечение по элементам , ) содержит только один элемент или пусто. Многозначность слева (справа) возникает тогда, когда хотя бы одно левое (правое) сечение содержит более одного элемента.

         Если  и  конечные, перечисленным свойствам бинарных отношений соответствуют следующие свойства матрицы, задающей соответствующее бинарное отношение.

NN п/п	Свойства бинарных отношений	Свойство матрицы, задающей бинарное отношение
1.	Определенность всюду слева	Отсутствие нулевых строк
2.	Не всюду определенность слева	Наличие нулевых строк
3.	Определенность всюду справа	Отсутствие нулевых столбцов
4.	Не всюду определенность справа	Наличие нулевых столбцов

NN п/п	Свойства бинарных отношений	Свойство матрицы, задающей бинарное отношение
5.	Однозначность слева	Отсутствие строк с числом единичных элементов >1
6.	Многозначность слева	Наличие строк с числом единичных элементов >1
7.	Однозначность справа	Отсутствие столбцов с числом единичных элементов >1
8.	Многозначность справа	Наличие столбцов с числом единичных элементов >1

2.7. Отображения. Частичные отображения. Мультиотображения.

Понятие «отображение» является обобщением понятия «функция», которое ранее (в курсе элементарной математики) было введено для чисел множества

y=f(x)

Понятие отображение уже вводится для множеств объектов.

Отображение, заданное на двух множествах, частный случай бинарного отношения

;