Электростатика проводников. Основные закономерности электростатических полей, страница 8

Электростатическое поле в вакууме вне источников удовлетворяет двум однородным уравнениям

Первое уравнение позволяет ввести скалярный потенциал

а второе уравнение указывает на существование векторного потенциала

Введем систему координат так, что . Тогда можно выбрать однокомпонентным вектором и компоненты поля имеют представление

Такие соотношения между функциями и совпадают с условиями Коши – Римана, выражающими тот факт, что комплексная функция

является аналитической функцией комплексного аргумента . называется комплексным потенциалом. Факт аналитичности означает, что функция в каждой точке имеет производную, не зависящую от направления, в котором она берется. В частности, дифференцируя вдоль направления оси , получим

Силовые линии поля описываются уравнением

Это можно представить в форме .

Значит и силовые линии поля это линии . Эквипотенциальные поверхности - это линии . Функциональное соотношение осуществляет конформное отображение комплексного переменного на плоскость комплексного переменного . Пусть требуется найти электростатическое поле проводящего тела. Сечение этого проводника в плоскости обозначим и пусть известно значение потенциала на этом контуре . Найдем функцию , осуществляющую отображение контура с плоскости на линию параллельную оси ординат в плоскости . Такая функция дает значение потенциала . Способ отыскания конформного отображения в ряде электростатических задач облегает построение решения.

В качестве примера нахождения комплексного потенциала рассмотрим задачу, решение которой известно. Поле заряженной бесконечно тонкой прямой нити, совпадающей с осью , в цилиндрической системе координат имеет вид

где - заряд единицы длины нити. Найдем представление для комплексного потенциала . Так как

то . Комплексный потенциал имеет вид

, .

5.7. Сведение объемных сил в электростатике к поверхностным натяжениям. Тензор натяжения. Найдем выражение для силы действующей со стороны электростатического поля на заряды в объеме

вещества. Пусть распределение зарядов в этом объеме характеризуется плотностью . Сторонние заряды создают электростатическое поле и статическое распределение свободных зарядов. На заряды в элементе объема действует сила , которую с учетом уравнения

можно записать в виде

Тогда полная сила, действующая на заряды в объеме , запишется следующим образом

, (5.11)

где - вектор плотности объемной силы. Представим выражение для силы через поверхностный интеграл. Такое представление имеет то преимущество, что вместо трехкратного интеграла (5.11) можно получить двукратный интеграл, который требует знания подынтегральной функции не в объеме , а только на окружающей его поверхности . С этой целью к выражению для добавим нулевое слагаемое (в электростатике ). Тогда компоненты вектора можно будет записать через дивергенцию некоторых векторов. Это даст возможность использовать формулу Гаусса – Остроградского и перейти от объемного интеграла к интегралу по поверхности. Запишем . Получим представление