Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях, страница 9

              Использование рассмотренной схемы в конкретной задаче (11.43) существенно упрощается тем, что правая часть уравнения зависит от времени по гармоническому закону и не требует Фурье - разложения. На основании решения системы (11.43) могут быть получены следующие результаты.

              В случае наличия вязкого (или радиационного) трения общее решение однородной системы экспоненциально затухает во времени. В установившемся режиме движение частицы полностью описывается частным решением неоднородной системы и не зависит от начальных условий. Этим движением является вращение заряда по окружности, плоскость которой перпендикулярна линиям магнитного поля, с почти постоянной по модулю скоростью (небольшие периодические изменения скорости связаны с тем, что ускоряющее действие переменного электрического поля меняется во времени). Среднее по периоду вращения в магнитном поле значение модуля скорости частицы сильно зависит от частоты переменного электрического поля (рис.11.9). Резонансный характер этой зависимости очевиден даже из качественных рассуждений:  при совпадении частоты переменного поля с частотой свободного вращения заряда в магнитном поле проекция электрической силы на направление движения частицы и, следовательно, совершаемая электрическим полем работа не меняют своего знака.

              В случае отсутствия радиационных и других потерь энергии (этот случай не соответствует физической реальности, но представляет определенный интерес с точки зрения техники решения уравнений) общее решение однородной системы представляет собой незатухающие колебания на частоте свободного вращения заряда в магнитном поле. В результате его сложения с частным решением, изменяющимся во времени с частотой вынуждающего поля, возникают биения: модуль скорости частицы испытывает периодические изменения на разностной частоте (рис.11.10). Исключение составляет случай резонанса. При равенстве частот ускоряющего поля и свободного вращения заряда их скорость неограниченно возрастает во времени по линейному закону (рис.11.11). Такой характер возрастания качественно объясняется тем, что при нерелятивистском движении в магнитном поле период вращения зарядов не зависит от их скорости и переменное электрическое поле продолжает разгонять заряды вне зависимости от набранной ими кинетической энергии. Очевидно, что учет релятивистских эффектов (зависимость периода вращения в магнитном поле от скорости) приводит к тому, что при достижении высоких энергий разгоняемые частицы выходят из резонанса с ускоряющем полем (рис.11.12). Для компенсации этого эффекта по мере разгона частиц приходится уменьшать частоту изменения электрического поля. Работающие по этому принципу ускорители называются синхрофазотронами.