Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях, страница 10

Пример 11.5.     Разгон заряженной частицы в скрещенных магнитном и вращающемся электрическом полях

Какую начальную скорость необходимо сообщить электрону для того, чтобы в заданных постоянном магнитном и перпендикулярном ему вращающемся электрическом полях его траекторией была бы стационарная окружность? Найти радиус этой окружности как функцию  частоты электрического поля и направления его вращения. Ограничиться нерелятивистским приближением. Радиационными потерями пренебречь.

Решение:          

              Описанной в условии задачи ситуации соответствует частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений (11.49), описывающее стационарное вращение с частотой вынуждающего поля. Начальная скорость частицы должна быть подобрана так, чтобы входящие в общее решение однородного уравнения константы оказались равными нулю: в противном случае движение будет представлять собой суперпозицию двух вращений на частотах W и w, что неизбежно приведет к возникновению биений.

              Проектирование (11.49) на оси декартовой системы координат и переход в комплексную область решений приводит ее к виду (11.50). Подстановка в полученную системы пробного решения, соответствующего вращению частицы с частотой изменения электрического поля приводит к алгебраической системе уравнений для амплитуд вынужденных гармонических колебаний (11.51).

              В отсутствии резонанса (частота вращения электрического поля отличается от частоты свободного вращения заряда в магнитном поле) определитель системы (11.51) отличен от нуля и ее решение имеет вид (11.52). Соответствующие компоненты скорости частицы вычисляются как вещественные части произведений найденных констант на экспоненциальный множитель (11.53). Искомая начальная скорость получается в результате подстановки в (11.53) значения t=0.

              Зависимость координат от времени получается в результате интегрирования полученных выражений для проекций скоростей (11.54). Зависимость радиуса  траектории от частоты вращения электрического поля имеет ярко выраженный резонансный характер (11.55). Полученный результат неприменим в случае точного выполнения условия резонанса w=W  и совпадения направлений вращения электрического поля и свободного движения заряда под действием магнитных сил. В этой ситуации в качестве пробного решения системы уравнений (11.50) следует использовать так называемое присоединенное решение (11.56), соответствующее не стационарному движению, а равномерному, неограниченному разгону частицы. Траектория при этом будет иметь вид “раскручивающейся спирали” (рис.11.13). Еще раз напомним, что такое решение не соответствует какой-либо физической реальности, поскольку не учитывает релятивистских эффектов и торможения заряда в результате излучения им электромагнитных волн.