Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях, страница 8

              Рассмотренный случай движения в скрещенных полях широко используется для получения пучков заряженных частиц, обладающих одинаковыми скоростями (т.н. монокинетических пучков). Ускоренные каким-либо устройством заряженные частицы пропускаются через скрещенные электрическое и магнитное поля так, чтобы начальная скорость была перпендикулярна линиям обоих полей (т.е. v_||=0). Все частицы со скоростями, отличными от удовлетворяющей равенству (11.42) отклонятся в сторону и могут  быть отсеяны, например, при помощи диафрагмы.

11.5. Ускорители заряженных частиц (частное решение неоднородной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с изменяющейся по гармоническому закону правой частью).

              В большинстве современных ускорителей заряженных частиц используется движение зарядов в скрещенных электрическом и магнитном полях. Не совершающее работы магнитное поле служит для изменения направления движения заряженных частиц. Непосредственный разгон зарядов (т.е. увеличение из кинетической энергии) происходит за счет электрического поля. Поскольку направление вектора скорости частиц при вращении в магнитном поле непрерывно меняется, для монотонного увеличения энергии частиц необходимо меняющееся во времени электрическое поле. И с точки зрения простоты технического осуществления, и с точки зрения теоретического анализа движения частиц наиболее удобным оказывается электрическое поле, изменяющееся во времени по гармоническому закону (11.43).

              С точки зрения теории решения линейных неоднородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (11.35) рассмотрение случая гармонически зависящей от времени правой части практически всегда оказывается достаточным. Это обстоятельство связано с тем, что для подавляющего большинства реально встречающихся в физике функций выполняется ряд условий (обращение в нуль на бесконечностях, существование не более конечного числа разрывов), обеспечивающих возможность их представления в виде суперпозиции (суммы или интеграла по частотам) функций, изменяющихся во времени по гармоническому закону (11.44). Сделанное утверждение носит название теоремы Фурье и позволяет сводить анализ линейных систем к расчету их откликов только на гармоническое внешнее воздействие.

              В силу линейности частное решение неоднородной системы может быть найдено как сумма частных решений для систем, в правой части которых стоят различные Фурье -  компоненты исходной функции (11.45).

              Для нахождения частного решения неоднородной системы, в правой части которой стоит вектор, изменяющийся во времени по гармоническому закону, удобно перейти к  экспоненциальной форме его записи. Линейность оператора выделения вещественной части комплексного числа позволяет решать систему уравнений в комплексной области (11.46) с последующим отбрасыванием мнимой части у результата. Разумеется, пробное решение следует искать в виде произведения постоянного вектора на экспоненциальную функцию, зависящую от времени так же, как и правая часть уравнения. Подстановка такого пробного решения в систему дифференциальных уравнений превращает ее в неоднородную алгебраическую систему линейных уравнений (11.47), решение которой не представляет принципиальных проблем. Как уже отмечалось, нахождение частного решения неоднородной системы с гармонической правой частью должно заканчиваться выделением действительной части из полученного результата и суммированием по всем частотам (11.48).