Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях, страница 4

              Обратный переход от проекций на круговые орты к проекциям на декартовы осуществляется исходя из сравнения разложений вектора скорости по двум наборам ортов (11.18). Учет начальных условий приводит к алгебраической системе уравнений для произвольных констант С (11.19), решение которой позволяет получить окончательный результат для компонент скоростей (11.20).Зависимость координат от времени получается простым интегрированием найденных компонент скорости (11.21). На рис.11.3 приведены результаты численного моделирования на компьютере рассмотренной в задаче физической ситуации.

11.3.  Диссипация энергии при движении частиц в магнитном поле (общий метод решения однородных систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами).

              Простейший учет диссипации энергии при движении зарядов в магнитном поле может быть осуществлен путем добавления в уравнение движения линейной по скорости силы вязкого трения. В нерелятивистском приближении уравнение движения приобретает вид (11.22). Его решение (рис.11.4) может быть получено методом проектирования на циркулярные орты, однако, представляется уместным продемонстрировать идею еще одного, более универсального подхода к решению систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

              В символическом виде левая часть уравнения (11.22),  как и любой другой линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, может быть записана в виде результата  действия линейного дифференциального оператора на вектор, состоящий из искомых функций - в данном случае зависимостей проекций скоростей от времени (11.23). Подстановка в исходное уравнение пробного решения в виде набора функций, зависящих от времени по одинаковому экспоненциальному закону (11.24) превращает ее в однородную алгебраическую систему для численных коэффициентов (11.25). Последняя имеет нетривиальное решение лишь в случае равенства нулю определителя. Возникающее при этом алгебраическое уравнение для показателя степени в экспонентах называют характеристическим (11.26). В общем случае это уравнение оказывается нелинейным и имеет несколько корней (возможно комплексных). Подстановка любого из них в (11.24) обращает выбранный набор функций в верное решение. В случае невырожденных (несовпадающих друг с другом) корней характеристического уравнения построенный набор решений оказывается линейно независимым. В силу линейности, решением системы является не только указанный набор, но и линейная комбинация его элементов (11.27). Входящие в общее решение (11.27) произвольные константы определяются исходя из начальных условий с учетом оставшихся линейно независимыми после приравнивания нулю определителя алгебраической системы уравнений (11.25).