Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях, страница 3

              Наличие зависимости радиуса кривизны траектории движущейся в магнитном поле частицы  от ее скорости и удельного заряда лежит в основе принципа действия многочисленных устройств, осуществляющих “сортировку” частиц по скоростям, энергиям, массам или зарядам.

              Движение заряженных частиц, влетающих в постоянное магнитное поле под углом  к его линиям, может рассматриваться как наложение равномерного прямолинейного движения вдоль  вектора B и равномерного вращения по окружности в перпендикулярной полю плоскости. Траекторией в этом случае будет винтовая линия с постоянным шагом и радиусом кривизны (рис.11.2). Шаг винтовой линии оказывается независящим от величины поперечной полю компоненты скорости частицы. Это свойство движения в магнитном поле находит применение при фокусировке пучков заряженных частиц: фокусирующее магнитное поле направляют вдоль оси пучка, частицы “навиваются” на его линии и, двигаясь по винтовым траекториям, периодически собираются расположенных на оси пучка точках.

              Доказательство перечисленных фактов можно получить, непосредственно решая систему дифференциальных уравнений для декартовых компонент вектора скорости частицы. Наличие векторного произведения в выражении для силы Лоренца  приводит к тому, что скалярные уравнения движения оказываются “сцепленными” друг с другом. Стандартным приемом, позволяющим “расцепить” уравнения, является проектирование содержащего векторное произведение равенства на круговые (или циркулярные) орты, определяемые соотношениями (11.12). Удобство их использования при работе с содержащими векторные произведения соотношениями обусловлено правилами перемножения циркулярных ортов (11.13). Легко убедиться, что проектирование на циркулярные  орты дает такой же результат, как почленное сложение и вычитание уравнений для x- и y- проекций, при условии умножения последнего на мнимую единицу -i.

Пример 11.2.  Движение нерелятивистской частицы в однородном магнитном поле

Рассчитать зависимости от времени координат и проекций скоростей заряженной частицы, влетающей с известной начальной скоростью в заданное постоянное магнитное поле. Эффектами излучения пренебречь.

Решение.

              В правой части уравнения движения (11.1) в ньютоновском приближении (v<<c), сохраняется только сила Лоренца (11.14). В декартовой системе координат, введенной так, что магнитное поле направлено вдоль оси z, а вектор начальной скорости лежит в плоскости (zOy), векторное уравнение (11.14) превращается в систему из трех обыкновенных дифференциальный уравнений первого порядка относительно компонент скорости частицы (11.15), два из которых “сцеплены” друг с другом. Проектирование же (11.14) на круговые орты (11.12) приводит к системе  уравнений, каждое из которых содержит по одной неизвестной величине (11.16), решение которой не представляет трудности (11.17). Входящие в общее решение произвольные константы С_x определяются из начальных условий.