Автоматизированные измерения и моделирование свойств линейных систем: Учебно-методическое пособие, страница 6

Один и тот же по форме сигнал в зависимости от его длительности  может  передаваться  ФНЧ  принципиально  по-разному  (разумеется,  это  утверждение  относится  также  и  к  другим цепочкам). Покажем это на примере прямоугольного импульса единичной амплитуды и длительности  (см. рис.4  и выражения (26)). Предположим, что  ,  тогда для частоты , на которой располагается первый нуль огибающей спектра, выполняется соотношение . В этом случае спектр входного сигнала располагается, в основном, в той  области, где коэффициент передачи близок к единице (рис.  8,а). Это означает, что прямоугольные импульсы большой длительности (по сравнению с постоянной  времени цепочки) передаются  ФНЧ  без существенных искажений.

Рис. 8

Если на вход интегрирующей цепочки подается импульс малой длительности , то  и практически  во всей области частот, занимаемой спектром, выполняется соотношение  (рис. 8б). Следовательно, такой входной сигнал данной цепочкой будет приближенно проинтегрирован. Далее мы подтвердим эти качественные выводы точными расчетами.

Приступим теперь к определению переходной и импульсной характеристик интегрирующей цепочки. Напишем для нее уравнение Кирхгофа

                                                               

Обозначая , получим следующее уравнение, связывающее входной и выходной сигналы:

                                                                   

Для определения переходной характеристики нужно подать на вход сигнал в виде  функции единичного включения . Напомним, что в силу принципа причинности  при . При   значение выходного сигнала определяется из уравнения

                                                 

Выходной сигнал при  равен нулю, так как напряжение на емкости не может измениться скачком, а до этого момента  емкость была не заряжена. Общее решение уравнения (40) имеет вид

                                                                    

Константа  находится из начального условия:  . Следовательно, переходная  характеристика  интегрирующей  цепочки описывается следующей функцией:

                                                                   

  с учетом (25) импульсная характеристика при  равна (рис.9)

                                                                 

Рис. 9

При  значение    достигает  уровня  0.63  от  своего максимального значения; это время можно использовать для оценки длительности "фронта" выходного сигнала. Найденная переходная характеристика позволяет нам рассчитать искажение прямоугольного импульса фильтром  НЧ.  Представим этот сигнал в виде двух функций единичного включения:

                                                     

Выходной сигнал в этом случае равен

                                                                         

 При  длительность переднего и заднего фронтов много меньше длительности самого сигнала, такой  прямоугольный  импульс проходит через ФНЧ без существенных искажений  (рис.  10,а).

 При   заменим  входящую в (45) экспоненту двумя первыми слагаемыми ряда Тейлора. В результате получим:

                                                                           

Учитывая, что в это время  ,  мы  действительно  получили приближенное интегрирование входного сигнала (ср.  (46)  и  (37)) ­– см. рис. 10б.

    

                                             Рис. 10

Выходной сигнал (45) может быть рассчитан  также  спектральным методом. Для этого подставим выражения для спектра прямоугольного импульса (26) и для коэффициента передачи ФНЧ (32), заменив в них   на, в выражение (22):

                                                                                        

Полюсы подынтегральных функций  в  и  расположены одинаково – в точках  и . Однако для вычисления  по лемме Жордана нужно замыкать контур  интегрирования направо при  и налево при , а для – направо при  и налево при  .

Вычислив  и , получим: