Системи звичайних диференціальних рівнянь. Теорія лінійних систем, страница 8

(причому необов'язково, щоб всі співвідношення брали участь у цій комбінації). При цьому множники  підбирають так, щоб знаменник дорівнював нулю, а чисельник був повним диференціалом або ж знаменником не дорівнює нулю, але чисельник був диференціалом тієї комбінації змінних, котрої виражається знаменник.

Приклад.Проінтегрувати систему:

.

Розв'язання. Складаючи рівняння й віднімаючи з першого рівняння друге, одержимо відповідно:

            

         

                   

          

                      

Тобто одержали розв'язання системи:

, .

Приклад.Проінтегрувати систему:

.

Розв'язання. Помножимо рівняння заданої системи на  й  відповідно. Тоді

.

Складаючи рівняння, одержуємо , або , або , або , або , або  й підставляємо в перше рівняння системи, одержуємо:

; ;

; ; .

Перші інтеграли системи:

.

Приклад. Проінтегрувати систему в симетричній формі:

.

Розв'язання. Тaк як , то  або  – перший інтеграл. Із другого рівняння:

; .

Ділимо на :

                                                       (1.72).

Тому що . Тоді (1.72) запишеться:

.

Перші інтеграли системи:

.

Приклад. Знайти загальний інтеграл системи:

.

Розв'язання. Запишемо систему в симетричній формі        – перший інтеграл. Використовуючи властивість ряду рівних співвідношень, одержуємо  або  або  або  або  – перший інтеграл системи.

Відповідь: .

Приклад. Розв’язати систему:

.

Розв'язання. Записуємо систему в симетричній формі:

 або .

Використовуючи властивість ряду рівних співвідношень одержуємо:

   

   

                                             (1.73)

– перший інтеграл.

Звідси . Підставляючи в перше рівняння системи, знаходимо:

або:

         

або з огляду на (1.73), одержуємо  – інтеграл системи.

Загальний інтеграл:

.

Приклад.Розв’язати систему: .

Розв'язання. З перших двох співвідношень     – перший інтеграл системи. Із другого рівняння  й з огляду на, що , одержуємо, тобто – перший інтеграл. Загальний інтеграл:

.

1.7 Загальна теорія лінійних систем

Як було указане вище, система диференціальних рівнянь називається лінійної, якщо вона лінійна щодо всіх невідомих функцій й їхніх похідних. Система лінійних диференціальних рівнянь (1.5) у скалярній формі має вигляд

 ,                                            (1.74)

де  й  – задані неперервні функції в інтервалі . Якщо увести матрицю  порядку  й  - мірні вектори  й , а саме:

,

, , ,

то система (1.74) запишеться у векторній формі

.                                                            (1.75)

Відповідно до дій над матрицями й рівності матриць маємо

, , ,

звідки витікає, що векторне рівняння (1.75) еквівалентно системі (1.74). Система (1.75) є неоднорідною лінійною системою. Якщо всі  , система є однорідною лінійною системою. Однорідна система у векторній формі має вигляд

.                                                             (1.76)

Задача Коші для векторного рівняння (1.75) ставиться так: знайти розв'язання рівняння (1.75), якщо

,                                                           (1.77)

де  – будь-яка точка інтервалу , а  – будь-який заданий  - мірний вектор . Розв'язанням задачі (1.75) - (1.77) називається такий диференційований вектор

,

який задовольняє на  рівнянню (1.75) і початковій умові (1.77).

Якщо всі функції  й  в (1.75) неперервні на інтервалі , то в досить малій околиці кожної точки , де , виконані умови теореми існування й одиничності розв'язання задачі Коші й, отже, через кожну таку точку проходить єдина інтегральна крива системи (1.75). Дійсно, у цьому випадку праві частини системи (1.75) неперервні, і їхні частинні похідні по кожному  обмежені, тому що ці частинні похідні рівні неперервними на інтервалі  коефіцієнтам .

Введемо в розгляд лінійний оператор  рівністю , тоді неоднорідне рівняння (1.75) запишеться у вигляді:

,                                                           (1.78)

а однорідне (1.76) у вигляді: