Системи звичайних диференціальних рівнянь. Теорія лінійних систем, страница 6

.                                    (1.51)

Приклад.

.

Розв'язання. Розв’язуємо перше рівняння системи:

; ;  .

Розв’язуємо друге рівняння:  – лінійне рівняння першого порядку. Розв’язав його одержуємо .

Відповідь: , .

Приклад.

Розв'язання. З першого рівняння .

Підставляючи в друге рівняння, одержуємо  – лінійне рівняння першого порядку. Розв’язав його, одержуємо .

Відповідь: , .

1.6.2. Метод виключення або приведення системи до одного диференціального рівняння вищого порядку

Один з основних методів інтегрування систем диференціальних рівнянь полягає в наступному: з рівнянь системи (1.16) і з рівнянь, що утворюються диференціюванням рівнянь системи, виключають всі невідомі функції, крім однієї, для визначення якої одержують одне диференціальне рівняння більше високого порядку. Інтегруючи отримане рівняння, знаходять одну з невідомих функцій, а інші невідомі функції знаходять із вихідних рівнянь і рівнянь, що вийшли в результаті їхнього диференціювання.

Нехай дана нормальна система  диференціальних рівнянь виду:

,                                                        (1.52)

у якій всі функції  мають неперервні частинні похідні до -го порядку включно по всіх своїх аргументах. Покажемо, що одна з невідомих функцій, наприклад , що входить до складу розв'язання  системи (1.52), задовольняє деякому рівнянню -го порядку. Підставивши в систему (1.52) деяке її розв'язання , обернемо всі рівняння системи в тотожності. Тоді, продиференціював першу тотожність по , одержимо:

.                                           (1.53)

Позначивши праву частину останньої тотожності через , одержимо:

.                                                      (1.54)

Диференціюючи (1.54), одержуємо:

                        (1.55)

                                                (1.56)

.                                                  (1.57)

У такий спосіб одержимо  тотожність:

                                                 (1.58)

і ще одна тотожність (1.57).

Припустимо, що в розглянутій області зміни змінних, визначник

.                                                     (1.59)

Тоді систему (1.58) можна розв'язати відносно , виразивши їх через змінні . Підставивши знайдені із системи (1.58) змінні  в рівняння (1.57), одержимо рівняння -го порядку:

,                                                  (1.60)

якому задовольняє функція , що є по припущенню функцією  розв’язання  системи (1.52).

Доведемо тепер, що якщо взяти будь-яке розв'язання  побудованого рівняння (1.60), підставити його в систему (1.60) і визначити із цієї системи , то система функцій

                                                     (1.61)

буде розв'язанням системи (1.52).

Підставивши знайдену систему функцій (1.61) у систему (1.58), оберне рівняння в тотожності, зокрема:

.                                            (1.62)

Диференціюючи останню тотожність по , одержимо:

.                                                (1.63)

У цій тотожності поки не можна замінити  на , тому що треба довести, що отримані з рівняння (1.60) і системи (1.58) функції  задовольняють системі (1.52).

Віднімаючи з тотожності (1.63) другу тотожність системи (1.58), що має вид (1.53), одержуємо:

,

або в силу першого рівняння системи (1.58) . Аналогічно, диференціюючи другу тотожність системи (1.58) і віднімаючи з нього (1.55), написане в розгорнутому виді, одержуємо:

;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

Розглянемо лінійну однорідну систему

                                                        (1.64)

с -м невідомим   . Її визначник збігається з відмінним від нуля функціональним визначником (1.59):

,

і тоді однорідна система (1.64) у кожній точці розглянутої області має єдине тривіальне розв'язання.

  .

Тоді, беручи до уваги (1.62), одержуємо, що  функцій  є розв'язанням системи рівнянь (1.52).

Зауваження 1.Процес виключення функцій  (крім ) припускає, що функціональний визначник . Якщо ця умова не виконана, то виключають якусь іншу з функцій , для якої відповідний функціональний визначник не дорівнює нулю.