Системи звичайних диференціальних рівнянь. Теорія лінійних систем, страница 10

Теорема 6. Якщо  розв'язань  ЛОС лінійно незалежні в інтервалі неперервності коефіцієнтів системи , то їхній визначник Вронського не звертається в нуль у жодній точці цього інтервалу.

Доказ аналогічно подібній до теореми для лінійних однорідних рівнянь.

Таким чином, для лінійної незалежності  розв'язань лінійної однорідної системи в інтервалі неперервності її коефіцієнтів  необхідно й досить, щоб їх  був відмінний від нуля хоча б в одній точці цього інтервалу.

Зазначені вище властивості (теореми 4,6) вронськіана розв'язань лінійної однорідної системи легко випливають із наступної формули Остроградського-Ліувиля, що виражає (з точністю до постійного множника) вронськіан розв'язань через діагональні коефіцієнти системи

,                                      (1.85)

де  – будь-яка точка з інтервалу неперервності  коефіцієнтів системи.

Для доказу цієї формули обчислюють похідну від вронськіана, диференціюючи по стовпцях. Тому що в цьому випадку похідна від визначника -го порядку дорівнює сумі  визначників, що виходять із нього почерговою заміною елементів 1-го, 2-го, ..., -го стовпця їхніми похідними, то

.

Заміняючи похідні  їхніми значеннями з тотожностей

 

одержуємо праворуч:

.

Розклавши визначник, що стоїть під знаком суми, на суму  визначників відзначимо, що всі визначники, що виходять, будуть дорівнюють нулю, крім визначника, що  відповідає (тому що кожний з них буде мати два пропорційних стовпці). Визначник же, що відповідає , дорівнює . Тому

,

звідки й треба формула Остроградського-Ліувиля (1.85).

Теорема 7. Лінійна комбінація  фундаментальної системи розв'язань  однорідної системи

                                                            (1.86)

с неперервними на  коефіцієнтами  є загальним розв'язанням системи (1.86) на тім же відрізку.

Доведення.Тому що коефіцієнти  неперервні при , те для системи (1.85) виконуються умови теореми існування й одиничності, а в силу теорем 1 – 2 функція  теж є розв'язанням системи (1.86), отже, для доказу теореми досить обґрунтувати, що підбором постійних  у розв'язанні  можна задовольнити довільно обраним початковим умовам , де , де  – довільне з відрізка , тобто досить показати, що векторне рівняння

                                 (1.87)

завжди буде мати розв'язання або буде мати розв'язання еквівалентна (1.87) система  скалярних рівнянь:

.                                      (1.88)

Система (1.88) розв'язна відносно  при будь-яких , тому що її визначник не дорівнює нулю при  як визначник Вронського фундаментальної системи розв'язань  й, отже, загальне рішення має вигляд , де  – фундаментальна система розв'язань.

Висновки. Якщо

,

побудована фундаментальна системи розв'язань однорідної лінійної системи (1.86) на інтервалі неперервності коефіцієнтів системи , то загальне розв'язання системи записуємо у вигляді

де  – довільні постійні, або в скороченому виді  .

Приклад.Побудувати загальне розв'язання системи

,

якщо цій системі задовольняють розв'язання , ; і , .

Розв'язання. Ці розв'язання утворять фундаментальну систему, тому що визначник Вронського:

.

Отже загальне розв'язання має вигляд:

,

де  й  – довільні постійні.

Теорема 8.Якщо  є розв'язанням неоднорідної системи

,                                                           (1.89)

а  – розв'язанням відповідної однорідної системи

,                                                           (1.90)

то сума  теж буде розв'язанням неоднорідної системи (1.89).

Доведення. З умови треба, що  й . Тоді, використовуючи властивість 2 лінійні оператори , одержуємо , тобто, що й було потрібно довести.

Теорема 9. Загальне розв'язання на  неоднорідної системи з неперервними на  коефіцієнтами  й правими частинами  дорівнює сумі загального розв'язання  відповідної однорідної системи й частинного розв'язання  неоднорідної системи, тобто .

Доведення.Тому що умови теореми існування й одиничності виконані, і з теореми 6 треба, що  буде розв'язанням неоднорідної системи, то для доказу теореми досить довести, що в розв'язанні