Теорема 6. Якщо розв'язань ЛОС лінійно незалежні в інтервалі неперервності коефіцієнтів системи , то їхній визначник Вронського не звертається в нуль у жодній точці цього інтервалу.
Доказ аналогічно подібній до теореми для лінійних однорідних рівнянь.
Таким чином, для лінійної незалежності розв'язань лінійної однорідної системи в інтервалі неперервності її коефіцієнтів необхідно й досить, щоб їх був відмінний від нуля хоча б в одній точці цього інтервалу.
Зазначені вище властивості (теореми 4,6) вронськіана розв'язань лінійної однорідної системи легко випливають із наступної формули Остроградського-Ліувиля, що виражає (з точністю до постійного множника) вронськіан розв'язань через діагональні коефіцієнти системи
, (1.85)
де – будь-яка точка з інтервалу неперервності коефіцієнтів системи.
Для доказу цієї формули обчислюють похідну від вронськіана, диференціюючи по стовпцях. Тому що в цьому випадку похідна від визначника -го порядку дорівнює сумі визначників, що виходять із нього почерговою заміною елементів 1-го, 2-го, ..., -го стовпця їхніми похідними, то
.
Заміняючи похідні їхніми значеннями з тотожностей
одержуємо праворуч:
.
Розклавши визначник, що стоїть під знаком суми, на суму визначників відзначимо, що всі визначники, що виходять, будуть дорівнюють нулю, крім визначника, що відповідає (тому що кожний з них буде мати два пропорційних стовпці). Визначник же, що відповідає , дорівнює . Тому
,
звідки й треба формула Остроградського-Ліувиля (1.85).
Теорема 7. Лінійна комбінація фундаментальної системи розв'язань однорідної системи
(1.86)
с неперервними на коефіцієнтами є загальним розв'язанням системи (1.86) на тім же відрізку.
Доведення.Тому що коефіцієнти неперервні при , те для системи (1.85) виконуються умови теореми існування й одиничності, а в силу теорем 1 – 2 функція теж є розв'язанням системи (1.86), отже, для доказу теореми досить обґрунтувати, що підбором постійних у розв'язанні можна задовольнити довільно обраним початковим умовам , де , де – довільне з відрізка , тобто досить показати, що векторне рівняння
(1.87)
завжди буде мати розв'язання або буде мати розв'язання еквівалентна (1.87) система скалярних рівнянь:
. (1.88)
Система (1.88) розв'язна відносно при будь-яких , тому що її визначник не дорівнює нулю при як визначник Вронського фундаментальної системи розв'язань й, отже, загальне рішення має вигляд , де – фундаментальна система розв'язань.
Висновки. Якщо
,
побудована фундаментальна системи розв'язань однорідної лінійної системи (1.86) на інтервалі неперервності коефіцієнтів системи , то загальне розв'язання системи записуємо у вигляді
де – довільні постійні, або в скороченому виді .
Приклад.Побудувати загальне розв'язання системи
,
якщо цій системі задовольняють розв'язання , ; і , .
Розв'язання. Ці розв'язання утворять фундаментальну систему, тому що визначник Вронського:
.
Отже загальне розв'язання має вигляд:
,
де й – довільні постійні.
Теорема 8.Якщо є розв'язанням неоднорідної системи
, (1.89)
а – розв'язанням відповідної однорідної системи
, (1.90)
то сума теж буде розв'язанням неоднорідної системи (1.89).
Доведення. З умови треба, що й . Тоді, використовуючи властивість 2 лінійні оператори , одержуємо , тобто, що й було потрібно довести.
Теорема 9. Загальне розв'язання на неоднорідної системи з неперервними на коефіцієнтами й правими частинами дорівнює сумі загального розв'язання відповідної однорідної системи й частинного розв'язання неоднорідної системи, тобто .
Доведення.Тому що умови теореми існування й одиничності виконані, і з теореми 6 треба, що буде розв'язанням неоднорідної системи, то для доказу теореми досить довести, що в розв'язанні
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.