Матричная игра двух игроков: Практическое занятие № 1

Страницы работы

Содержание работы

Практическое занятие № 1

«Матричная игра двух игроков»

Пример 1

Дана платежная матрица . Найти седловую точку игры.

Решение

1-й игрок:

1)  выбираем максимальные элементы по столбцам

2)  выбираем минимальный элемент из выбранных ;

2-й игрок:

1)  выбираем минимальные элементы по строкам

2)  выбираем максимальный элемент из выбранных

 — седловая точка в чистых стратегиях.

Пример 2

Дана платёжная матрица. Если встречаются доминируемые стратегии, отбросить их.

Решение

Если для -ой и -ой стратегий I игрока выполняются соотношения  и  по крайней мере для одного , то говорят, что -ая стратегия доминирует (превосходит) -ую стратегию.

Если для -ой и -ой стратегий II игрока выполняются соотношения  и  по крайней мере для одного , то говорят, что -ая стратегия доминирует -ую стратегию.

Определим  и ;   ; седловой точки в чистых стратегиях нет.

Пример 3

Найти оптимальную смешанную стратегию.

Решение

1.            2. 

                     

                          

               

Аналогично .

Задание для самостоятельного решения:

Найти оптимальную стратегию в смешанной игре, предварительно исключив доминируемые стратегии:


Практическое занятие №2

«Матричные игры двух игроков с матричной суммой»

Пример 1

Решение

 — седловая точка

                 — невозможно: когда игра имеет седловую точку в чистых стратегиях, то решение получается в отрицательных числах.

Пример 2

Найти оптимальную стратегию.

Решение

     

1.   

2.

Задание для самостоятельной работы:

Решить матричную игру с нулевой суммой размерности :


Практическое задание № 3.

«Методы решения матричных игр: решение матричной игры с помощью алгоритма двойственного симплекс метода».

Пример 1

Разберём применение линейного программирования в общем виде:

предположим, что цена игры положительна (u > 0). Если это не так, то всегда можно подобрать такое число с, прибавление которого ко всем элементам матрицы выигрышей даёт матрицу с положительными элементами, и следовательно, с положительным значением цены игры. Пусть дана матричная игра с матрицей А порядка mхn.

Разделим все уравнения и неравенства в  на u (u > 0) и введём обозначения :

     ,          ,

Тогда:

,     ,     ,     ,

,     ,     ,     .

Поскольку первый игрок стремится найти такие значения хi и, следовательно, pi , чтобы цена игры u была максимальной, то решение первой задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений  pi  , при которых

,   .

Поскольку второй игрок стремится найти такие значения yj и, следовательно, qj, чтобы цена игры uбыла наименьшей, то решение второй задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений  qj,  , при которых

,   .

Решив эти задачи, получим значения  pi qj  и u.Тогда смешанные стратегии:

Пример 2

 Найти решение игры, определяемой матрицей.

Решение.

При решении этой игры к каждому элементу матрицы А прибавим 1 и получим следующую матрицу

Составим теперь пару взаимно-двойственных задач :

                   

Решим вторую из них

ББ.п.

  Q1

  q2

  q3

  q4

  q5

  q6

Решение

   å

Отношение

  -1

  -1

  -1

   0

   0

   0

      0

  -3

 q4

   1

   2

   0

   1

   0

   0

      1

   5

       —

 q5

   1

   0

   1

   0

   1

   0

      1

   4

      

 q6

   2

   1

   0

   0

   0

   1

      1

   5

       —

Б.п.

  q1

  q2

  q3

  q4

  q5

  q6

Решение

   å

Отношение

   0

  -1

   0

   0

   1

   0

      1

   1

 q4

   1

   2

   0

   1

   0

   0

      1

   5

       

 q3

   1

   0

   1

   0

   1

   0

      1

   4

       —

 q6

   2

   1

   0

   0

   0

   1

      1

   5

    

Похожие материалы

Информация о работе