Матричная игра двух игроков: Практическое занятие № 1

Практическое занятие № 1

«Матричная игра двух игроков»

Пример 1

Дана платежная матрица . Найти седловую точку игры.

Решение

1-й игрок:

1)  выбираем максимальные элементы по столбцам

2)  выбираем минимальный элемент из выбранных ;

2-й игрок:

1)  выбираем минимальные элементы по строкам

2)  выбираем максимальный элемент из выбранных

 — седловая точка в чистых стратегиях.

Пример 2

Дана платёжная матрица. Если встречаются доминируемые стратегии, отбросить их.

Решение

Если для -ой и -ой стратегий I игрока выполняются соотношения  и  по крайней мере для одного , то говорят, что -ая стратегия доминирует (превосходит) -ую стратегию.

Если для -ой и -ой стратегий II игрока выполняются соотношения  и  по крайней мере для одного , то говорят, что -ая стратегия доминирует -ую стратегию.

Определим  и :  ;   ; седловой точки в чистых стратегиях нет.

Пример 3

Найти оптимальную смешанную стратегию.

Решение

1.            2. 

Аналогично .

Задание для самостоятельного решения:

Найти оптимальную стратегию в смешанной игре, предварительно исключив доминируемые стратегии:

Практическое занятие №2

«Матричные игры двух игроков с матричной суммой»

Пример 1

Решение

 — седловая точка

                 — невозможно: когда игра имеет седловую точку в чистых стратегиях, то решение получается в отрицательных числах.

Пример 2

Найти оптимальную стратегию.

Решение

1.   

2.

Задание для самостоятельной работы:

Решить матричную игру с нулевой суммой размерности :

Практическое задание № 3.

«Методы решения матричных игр: решение матричной игры с помощью алгоритма двойственного симплекс метода».

Пример 1

Разберём применение линейного программирования в общем виде:

предположим, что цена игры положительна (u > 0). Если это не так, то всегда можно подобрать такое число с, прибавление которого ко всем элементам матрицы выигрышей даёт матрицу с положительными элементами, и следовательно, с положительным значением цены игры. Пусть дана матричная игра с матрицей А порядка mхn.

Разделим все уравнения и неравенства в  на u (u > 0) и введём обозначения :

     ,          ,

Тогда:

,     ,     ,     ,

,     ,     ,     .

Поскольку первый игрок стремится найти такие значения х_i и, следовательно, p_i , чтобы цена игры u была максимальной, то решение первой задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений  p_i  , при которых

,   .

Поскольку второй игрок стремится найти такие значения y_j и, следовательно, q_j, чтобы цена игры uбыла наименьшей, то решение второй задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений  q_j,  , при которых

,   .

Решив эти задачи, получим значения  p_i ,  q_j  и u.Тогда смешанные стратегии:

Пример 2

 Найти решение игры, определяемой матрицей.

Решение.

При решении этой игры к каждому элементу матрицы А прибавим 1 и получим следующую матрицу

Составим теперь пару взаимно-двойственных задач :

Решим вторую из них