Линейные операции над векторами

Практическое занятие №7.

     Линейные операции над векторами.

1. Def: Направленный отрезок - вектор

   Построить: (-1;2), (3;-2;4).

2.  =

3. Линейные операции.

. Def: Векторы   коллинеарны, если они лежат на параллельных или совпадающих прямых.

Признак коллинеарности: 1) êê.

                                             2)

5. Def: Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости, или $ плоскости, которой все они параллельны.

6. Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна 1.

7. Def: называются линейно зависимыми, если $  (хотя бы

одно ¹ 0 ), если имеет место нулевая комбинация:

Def: Если равенство :  выполняется лишь при,то систему векторов называют линейно независимой или базисом.

Пример: 1) Любая пара неколлинеарных векторов на плоскости образуют базис.

             2) Любые три неколлинеарные вектора образуют базис ир-ва и любой вектор  можно представить линейной комбинацией этих векторов, если  некомпланарны.                                  

Запись  равносильна :  где  - единичный базис.

Сложение.                                 Вычитание.

                                           Решение задач:

№ 769; 775; 776; 780; 783; (784); 787; 789(с). Самостоятельно 763; 785.

Д.з. № 764; 778; 782; 793; Скалярное произведение.

       Решение № 783.

№ 784.

(Если является биссектриссой, то должна быть биссектриссой ромба).

    

Практическое занятие № 8.   Скалярное произведение.

1.Def:

2.Запись:  .

3.Свойства:  1)

                      2)

                      3)

                      4)

4.

5.      Если

6. Механический смысл :    

                                              Решение задач.

№ 808, 815, 817, 821, 824, 833, 827, 826.

Д.з. № 822, 825, 834, 823.   Учить векторное произведение.

№ 808.

№ 815.

№ 817.

 

№ 821.

       B(5;1;-1)

C(1;-2;1)

A(3;2;-3)

1)Внешний угол :

    Внутренний:

№ 824.

№ 833.

№ 826.

-2z = -6;  z = 3;  y = z =3; x = 2y –3z =6 – 9 = -3

Практическое занятие № 9.

1.  Запись: .

2.  Def: Векторным произведением называется вектор, обозначаемый  и определяемый 3-мя условиями:

1)    (численно равен S параллелограмма, построенного на векторах).

2)  ^и ^.

3)   направлен по правилу “правой руки”.

                           

3.  Свойства: 1) = - .

                        2) .

                    3) l ×  = .

                        4) .

4.  Если

   

5.  Механический смысл:  если  изображает силу, приложенную к точке М, а

вектор , то , где  - момент силы  относительно точки О.

           b

6.  Геометрический смысл:

                        S параллелограмма =        

М             a        O

                                                  Решение задач.

1), № 850(1,2); 855; 857; 860; 862.

Д. з. № 851; 858; 859; 864.

1)  Вычислить S параллелограмма, построенного на векторах

 

1)

2) Sпар  = =

№ 850 (1,2)

                             

               p                                          

           А                     

                               a            С

   

Ответ:

№ 857.

B(3;0;-3)

C(5;2;6)

A(1;2;0)

№ 860.

1 Способ.

2 Способ.                  

             

№ 862.                                                       

                                                          

1 СПОСОБ.

2 СПОСОБ. 

Практическое занятие № 10

Смешанное произведение.

1.  Запись:

2. 

3.  Геометрический смысл: Vпарал = .

4.  Необходимое и достаточное условие компланарности 3-х векторов

5.  Не круговая перестановка не меняет величины; перестановка двух соседних сомножителей меняет знак.

Решение задач.

№ 873; 874(1); 875; 876; 877; 867.          Д.з. № 866; 869; 878; И. з.

№ 873.

              

№ 74(1).

              Векторы компланарны (или линейно зависимы).

№ 875.

                       B(0;1;5)

                      C(-1;2;1)

               D(2;1;3)

                  A(1;2;-1)

       

№ 876.

                 D(4;1;3)                            1) AB = (3;6;3)

                                AC = (1;3;-2)

                                AD = (2;2;2)

B(5;5;4)

A(2;-1;l)    C(3;2;-1)

2) 

3)  Vтетр =

№ 877.

     D             

    A  B

                       C

1)  AB = (2;-2;-3)

AC = (4;0;6)

AD(-7;-7;-7)                     

2)  3) V_ABCD =     

   Ответ: 11.

№ 867.                                  

1)

 

т.к. неизвестно, левую или правуб тройку образуют векторы, то .

(минус будет, если тройка векторов левая).

Ответ: .

Практическое занятие № 11.     Прямая на плоскости.

   1)                        

На прямой взяты точки .

 

Ax + By + C = 0 – общее уравнение прямой.

                   - угловой коэффициент.

12. Уравнение пучка прямых:

                            Решение задач.

№ 218, 226, 234(1), 254, 305(схема), 314, 351.