Диференціальні рівняння в частинних похідних першого порядку

Розділ 4

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ В ЧАСТИННИХ ПОХІДНИХ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

4.1 Постановка задачі інтегрування рівнянь у частинних похідних

Багато проблем техніки й, особливо, математичної фізики (коливання струни й мембрани, теплопередача, дифузія й т.д.) приводяться до інтегрування диференціальних рівнянь у частинних похідних. Нагадаємо, що диференціальним рівнянням у частинних похідних називають рівняння, що містять одну або кілька функцій, що залежать від двох або більше аргументів, самі аргументи, а також частинні похідні по цим аргументах. Порядок старшої частинної похідної називають порядком рівняння в частинних похідних.

Далі коротко розглянемо тільки рівняння в частинних похідних 1-го порядку й у першу чергу ті, розв'язання які тісно пов'язані з розв'язанням систем звичайних диференціальних рівнянь.

Рівняння в частинних похідних першого порядку з однією невідомою функцією має вигляд

.                                  (4.1)

У випадку двох незалежних змінних рівняння (4.1) записують:

                                                     (4.2)

або, користуючись позначеннями Монжа, ,

.                                                    (4.3)

У рівняння (4.1) або (4.2) може явно не входити шукана функція або незалежні змінні, але обов'язково повинна входити хоча б одна частинна похідна.

Проінтегрувати будь-яке диференціальне рівняння в частинних похідних – значить знайти всі розв'язання даного рівняння. Природно очікувати, що розв'язань буде нескінченна множина, виходячи хоча б з таких розумінь: звичайні диференціальні рівняння можна формально розглядати як окремий випадок рівняння в частинних похідних, коли число незалежних змінних  ; але всяке звичайне диференціальне рівняння має нескінченну множину розв'язань (відповідних різним значенням довільних постійних); ми й поготів вправі очікувати нескінченного числа розв'язань від рівняння, що містить більше одного незалежного змінного. Попередні зазначення на характер довільних елементів, що входять у розв'язання рівнянь у частинних похідних, ми можемо одержати з окремих випадків, де легко знайти загальне розв'язання. Наприклад, розглянемо рівняння

.                                             (4.4)

Воно містить тільки частинну похідну по , при обчисленні якої  вважається постійною (фіксується). Якщо ж  вважати постійною величиною, то рівняння (4.4) можна розглядати як звичайне рівняння із шуканою функцією  й незалежної змінної . Але очевидно, що зміна  викликає зміну цього звичайного диференціального рівняння, і тому  потрібно розглядати як його параметр. Тоді звичайне диференціальне рівняння запишеться  – це лінійне диференціальне рівняння першого порядку з параметром  і його розв'язання

,                                                   (4.5)

для того щоб (4.5) було розв'язанням рівняння (4.4), необхідно й досить, щоб  - було довільною функцією. Тоді загальне розв'язання рівняння (4.4) має вигляд .

Як бачимо, загальне розв'язання рівняння в частинних похідних 1-го порядку, на відміну від звичайного диференціального рівняння, містить не довільну постійну, а довільну функцію.

Для рівняння 1-го порядку (4.1), припускаючи його дозволеним щодо однієї із частинних похідних, наприклад :

,                                   (4.6)

Задачу Коші формулюють так: знайти розв'язання  рівняння (4.6) , що при заданому значенні звертається в задану функцію інших незалежних змінних при

, .                                         (4.7)

Існування такого розв'язання ми доведемо тим, що дамо метод його побудови за допомогою інтегрування систем звичайних диференціальних рівнянь.

У випадку двох незалежних змінних (4.2) задача інтегрування рівняння із частинними похідними, а також задача Коші допускають просту геометричну інтерпретацію. Розглянемо рівняння (4.2) дозволене щодо однієї частинної похідної

.                                                     (4.8)

Знайти розв'язання рівнянь (4.2), (4.8) це, виходить, знайти функцію

.                                                       (4.9)

яка в координатному просторі зображує деяку поверхню, що називають інтегральною поверхнею рівняння (4.8). Таким чином, задача знаходження розв'язання рівнянь у частинних похідних є задачею знаходження інтегральних поверхонь. Якщо розглядати рівняння (4.9) як визначальну поверхню, то дотична площина до неї в точці виражається рівнянням

,                                         (4.10)

де поточні координати,  і  кутові коефіцієнти дотичної площини. Таким чином, рівняння в частинних похідних (4.3) виражає співвідношення між координатами  точки шуканої інтегральної поверхні й кутових коефіцієнтів і  дотичною площини до цієї поверхні в цій точці. Задача Коші для рівняння (4.8) з початковими умовами

, .                                               (4.11)

інтерпретується так: знайти інтегральну поверхню, що проходить через просторову криву (4.11).