Математика \ Дифференциальные уравнения

Диференціальні рівняння в частинних похідних першого порядку, страница 7

Чисельник останнього виразу буде рівнятися нулю, якщо (4.41) виконується тотожно. Виходить, права частина рівності (4.43) не залежить від й являє собою звичайне диференціальне рівняння першого порядку із шуканою функцією . Інтегруючи (4.43), знаходимо , виражену через і довільну постійну. Підстановка останнього виразу в (4.42) і дає розв'язання системи (4.39), що містить одну довільну постійну. Виходить, необхідною й достатньою умовою повної інтегрируємості системи (4.39) є тотожне виконання співвідношення (4.41). Коли це має місце, інтегрування системи (4.39) приводиться до інтегрування двох звичайних диференціальних рівнянь першого порядку. Співвідношення (4.41) часто називають умовою спільності системи (4.39).

4.4.3 Рівняння в повних диференціалах (рівняння Пфаффа)

Задача інтегрування рівняння

, (4.45)

де – задані функції, по суті зводиться до попередній. Запишемо рівняння (4.45) у вигляді (припускаємо, що ):

Тоді, позначивши

зведемо його до системи (4.39). Умова (4.41) повної інтегрованості

після виконання операцій диференціювання й спрощень приводиться до виду:

. (4.46)

Умова (4.46) не змінюється при круговій перестановці й . Значить ми одержали б цю же умову й тоді, якби замість невідомої функції вибрали б або .

4.4.4 Метод Лагранжа - Шарпи

Перейдемо тепер до викладу методу Лагранжа - Шарпи, що дає загальний прийом знаходження повного інтеграла рівняння

. (4.47)

Ідея методу полягає в тому, що ми шукаємо друге рівняння

, (4.48)

де – довільна постійна, за умови, щоб система цих двох рівнянь була повністю інтегрувальною. Друге рівняння підбирається так, щоб воно містило довільну постійну. Розв'язання, таким чином, буде містити дві довільні постійні, тобто буде повним інтегралом.

Покладемо, що підібрано так, що (4.47) і (4.48) розв'язно відносно й і систему

(4.49)

є повністю інтегрованою. Тоді умова повної інтегрованості запишеться

. (4.50)

Тепер необхідно обчислити всі частинні похідні, що входять у тотожність (4.50). Для цього будемо диференціювати (4.47) і (4.48) по , розглядаючи і як неявні функції . Одержимо

Звідки

;

Аналогічно, диференціюючи по й , будемо мати

;

Якщо тепер вираз для , , , внесемо в (4.50), то останнє буде мати вигляд

або, якщо введемо позначення

і розпишемо функціональні визначники

. (4.51)

Виходить, допоміжна функція повинна задовольняти лінійному рівнянню в частинних похідних з п'ятьма незалежними змінними. Відповідному рівнянню (4.51) система звичайних диференціальних рівнянь буде мати вигляд

. (4.52)

У нашому випадку немає необхідності знати загальний інтеграл системи (4.52), досить знати який-небудь перший інтеграл цієї системи за умови, щоб рівняння , розв’язувалося відносно й .

Висновок: щоб знайти повний інтеграл рівняння (4.47) потрібно знайти спочатку такий перший інтеграл F=a системи (4.52), щоб визначник , і потім вирішити два рівняння , відносно й . Підставляючи знайдені вираження й у рівняння , одержимо повністю інтегроване рівняння в повних диференціалах. Загальний інтеграл останнього буде містити другу довільну постійну , а це й буде повний інтеграл рівняння (4.47).