Изучение явления переноса (примеры решения задач). Первое начало термодинамики, страница 3

АНАЛИЗ. При решении задачи следует воспользоваться уравнением теплового потока , учитывая, что коэффициент теплопроводности  изменяется с температурой по закону:  (рис. 1.2.1), где t – температура в градусах Цельсия.

РЕШЕНИЕ. Запишем уравнение Фурье в виде , где под dx будем понимать бесконечно тонкий слой обмуровки, в пределах которого коэффициент теплопроводности и температура t постоянны. Подставив значение , получим . Разделим переменные этого дифференциального уравнения, а затем проинтегрируем:

,

следовательно, тепловой поток  определится из равенства:

.

Проверим формулу на размерность: .

Подставим численные значения:

.

ОТВЕТ: .

ЗАДАЧА 3.При определении вязкости жидкостей по методу Стокса расчёты ведут в предположении, что скорость падения шарика постоянна и равна его скорости при установившемся режиме движения: . В какой степени верно это предположение? Через какой промежуток времени скорость шарика станет равной , если плотность материала шарика , его диаметр , динамическая вязкость жидкости ? В начальный момент времени скорость шарика .

         АНАЛИЗ. При решении задачи будем использовать закон Стокса для расчёта силы сопротивления движению шарика в жидкости: , где r –  радиус шарика,   –  вязкость жидкости,  –  скорость шарика.

РЕШЕНИЕ. Составим дифференциальное уравнение движения шарика массы m: . В проекции на ось OY (рис 1.2.2.) получим:

,                          (1.2.1.)

где r₂ – плотность жидкости.

Решим дифференциальное уравнение (1.2.1) методом разделения переменных и найдём время t, по истечении которого скорость шарика станет равной некоторому значению . Для этого обозначим величину , коэффициент перед переменной  через . Учтём, что , где  –  объём шарика. Следовательно,, а .