Приклади розв’язування деяких задач (Виразити складні події через елементарні події. Знайти всі додаткові умови відносно випадкових подій для запропонованої рівності), страница 7

дуга кола пряму не перетинає.

Зображуємо область  на площені

У відповідності із формулою геометричної ймовірності

де т – площа, у даному разі. Шукаємо  і

 сегмента

Отже

Відповідь:

6.2

Розв’язок

 Область , задана нерівністю

є круг, обмежений ко­лом радіуса 5 із центром у початку ко­ординат. Підобласть , області , задана подвійною нерівністю

,

це розміщена в середині круга область між пря­мими

1              і     2         .

Прямі на площині  визначаємо точками перетину із колом, що обмежує область . Ці точки знаходимо як розв’язки наступних систем рівнянь:

Зображуємо області  і  на площині .

Отже

Відповідь:

7 На заданому проміжку навмання вибрано точку . Знайти ймовірність того, що вона задовольняє вказаній умові

7.1 

Розв’язок

 Спосіб 1.

Вихідна умова

Розглянемо спочатку окремі складові умови

1)

Аналогічно

2)

3)

Аналогічно

4)

Відмітимо, що взагалі-то результати 3) і 4) випливають з 1) і 2).

5)  

тоді умова

Тоді ймовірність того, що точка , навмання вибрана з проміжку , задовольняє заданій умові у відповідності із формулою геометричної ймовірності

,

де т довжина, дорівнює

Спосіб 2.

 при  або при

і  при  або при

Отже, при  вирази

 і  

мають один знак.

Вираз  при  має той же знак, що , і про­тилежний, якщо .

Отже, при  вирази

  і 

мають один знак.

Тому задана нерівність при

Розклавши на множники знаменник і повиносивши від­мінні від нуля константи із чисельника і знаменника отримаємо

 .

Звідки

.

Або з урахуванням ОДЗ

 .

Тоді

 .

Відповідь: .

10 Є два слова. З першого навмання вибирають т букв, з другого – n букв. Знайти ймовірності того, що серед вибраних букв:          1) принаймні одна голосна;

2) дві однакові;

3) принаймні дві однакові;

4) усі різні;

5) одна “н”;

6) одна “н” і одна “а”;

7) одна “н” або одна “а”;(сума подій)

8) жодної “н” і жодної “а”;

9) принаймні одна “н”;

10) принаймні одна “н” і одна “а”;

11) принаймні одна “н” і принаймні одна “а”.

Зауваження

 Для студентів заочного відділення у непарних варіантах  у парних .

10.1 Множина замкнена.

Розв’язок

 Для зручності випишемо букви, з яких склада­ються слова, в алфавітному порядку

а ж и м н н о – 7    а а е з к м н н – 8

Нехай  — у випробуванні вибрано голосну букву і нехай  — подія номер  з умови задачі. Тоді

При обчисленні ймовірності  враховано, що по­дії  — у першому і другому випробуваннях, із другого слова вибрано приголосні букви, – залежні.

Зазначимо, що в теорії ймовірностей випадкові події, як правило, позначають великими буквами латинського алфавіту, але в межах цієї задачі задля зручності ми відмовимося від цього правила.[*]

Нехай

,

відповідно,

.

Тоді

або за фомулою

Або

Або

Тоді у відповідності із останньою формулою

де  — серед вибраних букв одна ”а”;  — серед вибраних букв жодної “н” і не одна “а”.

Отже

Або  можна знайти іще таким способом. Нехай  — серед вибраних букв принаймні одна “а”

Тоді

Відповідь:

Зауваження 1

 Усі знайдені вище ймовірності подій мо­жна було б знайти використовуючи формулу

(див. зауваження в кінці розв’язку задачі 5.1).

Так

Тут і нижче множники типу  рівні 1 при спрощенні виразу опускаємо

Тут , тобто не “н” і не “а”.

І т.д.

Зауваження 2

У разі якщо при обчисленні ймовірностей , , потрібно враховувати наслідки випробування в яких є по дві пари однакових  букв. Тоді

Зазначимо, що двійки перед подіями із знаком ”—” означають, що кожна з них входить у подію із знаком ”+” двічі. Наприклад, подія  входить у події  і , подія  у події  і  і т.д.