Приклади розв’язування деяких задач (Виразити складні події через елементарні події. Знайти всі додаткові умови відносно випадкових подій для запропонованої рівності), страница 5

Тоді

Відмітимо, що тут, у , згідно із змістом і враховано, що в кожній з ячейок є по одній частинці а інші частинок розподіляються по тих же ячейках будь яким способом

Отже

Спосіб 2

Знайдемо спочатку ( можливе число розподілів …). Розподіл n частинок по т ячейках можна, наприклад, зобразити таким чином

Тут нулі це частинки, а риски – проміжки між ячейками, тобто, в ячейці 1 частинок розподілилося 3, в ячейці 2 — 0, в ячейці 3 — 2, в ячейці 4 — 1, в ячейці 5 — 0, …, в ячейці . Усіх нулів n, рисок ‑ , тоді можливе число розподілів n частинок по т ячейках буде дорівнювати числу способів, якими можна вибрати n нулів серед нулів і рисок, в середині між двома крайніми рисками, тобто

1. Знайдемо тепер . Очевидно, що число таких розподілів буде дорівнювати числу способів якими можна розмістити внутрішню риску в проміжках між нулями. Тобто

Отже

2. Події В сприяє лише один розподіл, отже

3. Подію С подаємо в виді

(зміст дивись вище). Тоді

де перший множник – це число способів, якими можна вибрати нулів серед нулів і рисок; другий множник це число способів якими можна розмістити внутрішніх рисок (тобто риску разом із нулями між ними заміняємо однією рискою) в проміжках між нулями.

Отже

Відповідь:

4 розрізнимих частинок розподіляються по ячейках. — будь-які (статистика Максвела — Больцмана якій підкоряється ідеальний газ). Знайти ймовірності подій:

4.2

— у кожній з ячейок є хоча б одна частинка;

— у першу ячейку попала частинка, у другу — частинок, … , у -ту — частинок;

— у фіксованих ячейках розмістилися частинок (), інші частинки розмістилися по всіх інших ячейках.

Розв’язок

Відмітимо, що події задачі 4.2 тіж самі, що і події задачі 4.1. Але в цій задачі мова йде про розрізнимі частинки. Вважається, що всі вони різні, наприклад, кожна з них має свій індивідуальний номер.

Спосіб 1

Шукаємо — можливе число розподілів частинок по ячейках. Для цього як і при розв’язку задачі 4.1. Випишемо кілька можливих розподілів. Наприклад,

			…
			…
			…

Тут у кожному рядку по чисел. Перша цифра у числі – номер ячейки (тип елемента), друга цифра – номер частинки (номер елемента). Три крапки заміняють однакові частини розподілів. Два перших розподіли однакові за складом типів елементів, але різні за порядком розташування номерів елементів (фрагменти у першому розподілі , у другому розподілі). Третій розподіл відрізняється від двох перших складом типів елементів і порядком розташування номерів елементів. Отже все це різні розподіли. На відміну від задачі 4.1 тут важче зрозуміти, які це комбінації елементів, тому почнемо з того, що знайдемо їх кількість.

Частинка з номером 1 може попасти у будь-яку з т ячейок, тобто для частинки з номером 1 є т варіантів розподілу по ячейках, частинка з номером 2 – теж у будь-яку з т ячейок, …, частинка з номером n знову ж таки у будь-яку з т ячейок. Отже можливе число розподілів по ячейках