Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений

Сумской государственный университет

Кафедра прикладной математики

Курсовая работа

по дисциплине ”Численные методы” на тему:

” Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений”

Выполнила                студентка III курса

                                    группы ПМ-92

                                    Максименко О.В.

Преподаватель          Назаренко Л.Д.        

Сумы 2002    

Содержание

1.  Введение.

2.  Постановка задачи

3.  Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений, основанное на интерполяции. Формулы Адамса

3.1.  Формула Адамса с первыми разностями

3.2.  Формула Адамса со вторыми разностями

4.  Методы составления начала таблицы для применения формул Адамса

4.1.  Метод Эйлера с уравниванием

4.2.  Метод последовательных приближений А. Н. Крылова

4.3.   Метод Адамса-Крылова

5.  О точности методов численного интегрирования дифференциальных уравнений. Контроль

6.  Алгоритмы используемых методов

7.  Результаты.  Выводы

Введение

Многие технические задачи приводят к необходимости отыскания решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего тем или иным начальным условиям. Как известно, дифференциальные уравнения удается проинтегрировать в конечном виде лишь в отдельных специальных случаях, да и то при этом часто получаются выражения, определяющие искомую функцию в неявной форме, пользование которыми весьма затруднительно. Поэтому в инженерной практике приходится прибегать к приближенному интегрированию дифференциальных уравнений.

Постановка задачи

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:

      (1)

Найти приближенное численное решение дифференциального уравнения, это значит составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Пусть y(x) – решение уравнения (1) и х=х₀ – начальное значение аргумента. Начальное условие для решения уравнения (1) задается в виде

y(x₀)=y_0,                (2)

где y₀ – заданное число.

Очевидно, что ставить вопрос об отыскании приближенных значений интеграла y(x) уравнения (1) можно в том и только в том случае, если решение y(x), удовлетворяющее условию (2), существует и единственно. Как известно из общей теории дифференциальных уравнений, для этого достаточно, чтобы фигурирующая в правой части уравнения (1) функция f(x,y) была непрерывна в рассматриваемой области по обоим аргументам и имела ограниченную частную производную .

Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений, основанное на интерполяции. Формулы Адамса

Идея метода Адамса заключается в том, что производная на соответствующем участке заменяется полиномом первой, второй или более высокой степени, а сам интеграл, следовательно, заменяется полиномом степени на еденицу выше.

Для получения рабочих формул воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования назад:

  (3)

Пусть выбрано число h – шаг таблицы, и промежуток интегрирования точками x₁=x₀+h, x₂=x₁+h, … разбивается на участки равной длины.

Формула Адамса с первыми разностями

На участке [x₀,x₂] изменения независимой переменной заменим производную искомого интеграла интерполяционным полиномом Ньютона (для интерполирования назад) первой степени.

По формуле (3) получим

     (4)

Обозначим в дальнейшем для уравнения(1)

  (k=0,1,2,…)     (5)

Тогда для любой разности

                  (6)

и формула (4) примет вид

               .

Интегрируя теперь по промежутку [x₁,x₂] и имея в виду, что x₂-x₁=h, получим

               .

Отсюда

               .

Аналогично, применяя те же рассуждения к участку [x₁,x₃], получим

 , и т.д.

Отсюда в общем случае

   (k=1,2,…)(7)

Формула Адамса со вторыми разностями

На участке [x₀,x₃] изменения независимой переменной заменим производную  искомого интеграла интерполяционным полиномом Ньютона второй степени. По формуле (3) получим

  

Отсюда в силу (5) и (6)

               .

Преобразуем последнее слагаемое. Так как

. 

Отсюда

               .

Интегрируя теперь по промежутку [x₂,x₃] и имея в виду, что , , получим

   .

Отсюда

            .

Аналогично, применяя те же рассуждения к участку [x₁,x₄], получим

, и т.д.

Отсюда в общем случае

  (k=2,3,…)(8)

Точно так же можно получить формулы Адамса с третьими и более высокими разностями. Например:

  (k=3,4,…),  (9)

  (k=4,5,…).  (10)

Эти формулы позволяют при том же шаге получить более точные результаты, чем формулы (7) или (8), однако при этом повышается и сложность расчетов. В дальнейшем в качестве основной мы выберем формулу (8).

Методы составления начала таблицы для применения формул Адамса

Для начала вычисления по формулам Адамса необходимо знать значения искомого интеграла дифференциального уравнения не в одной, а в нескольких точках: при применении формулы с первыми разностями (7) –  в точках x₀ и x₁=x₀+h; при применении формулы со вторыми разностями (8) – в точках x₀, x₁=x₀+h и x₂=x₀+2h. Для вычисления этих первых значений интеграла существует много различных методов. Ниже будут изложены некоторые из них. Изложение будем вести применительно к формуле (8), требующей предварительного вычисления значений искомого интеграла дифференциального уравнения в двух точках (значение интеграла в точке х₀ задается начальным условием).