Оптическое излучение, страница 9

2. Первое и второе соотношения для коэффициентов Эйнштейна, полученные на основе выражений для нагретого тела, не включают температуру. Следовательно, они справедливы для любого типа источника – являются универсальными.

3. Из второго соотношения следует, что при уменьшении длины волны отношение А₂₁ / В₂₁ возрастает. Отсюда следует, что при w_ν = const уменьшение λ сопровождается увеличением доли спонтанного излучения по сравнению с индуцированным. Рассмотрим причину этой закономерности. Если оставаться в рамках двухуровневой модели излучающей среды, то спад λ вызывает снижение энергии кванта ε_кв = W₂ – W₁ = hν  = hc/ λ. Это эквивалентно повышению энергии верхнего уровня W₂ при неизменном нижнем W₁. С физической точки зрения рост энергии уровня усиливает неустойчивость возбужденной системы, стремящейся к состоянию с минимальной энергией. Неустойчивая возбужденная система релаксирует быстрее, время жизни на верхнем уровне t₂ уменьшается, и, как следствие, растет количество спонтанных переходов А₂₁ = 1/t₂. Таким образом, при прочих равных условиях индуцированное излучение легче получить в длинноволновой области оптического диапазона, инфракрасной и видимой, и сложнее в УФ-области.

4. Используя соотношения между коэффициентами Эйнштейна, можно выяснить, при какой температуре среды вероятности (количества переходов в единицу времени) спонтанного и индуцированного излучения выравниваются:  А₂₁ = w_ν В₂₁. На основе (1.4) и (1.5) перепишем условие равенства в другом виде: . Для выполнения равенства вероятностей экспонента должна равняться 2. Выбрав для примера переход с длиной волны излучения  λ = 1 мкм, получим, что температура среды должна быть порядка 4·10⁴ К, что недостижимо в земных условиях. Следовательно, на основе равновесной, нагретой среды реализовать оптическое усиление и построить лазер не удастся.

5. Запишем выражение для полной вероятности излучения одной частицы:   и найдем А₂₁ из второго соотношения:

. Тогда получим  . Это означает, что если запрещено индуцированное излучение  (коэффициент Эйнштейна В₂₁ = 0), то 0, а следовательно, А₂₁ = 0, т. е. запрещено и спонтанное излучение. Выразив В₂₁ через А₂₁ и поставив выражение в , получим аналогичный результат: если запрещено спонтанное излучение, то запрещено и индуцированное излучение. Эти выводы подтверждают неразрывную связь всех видов оптических переходов.

1.4. Ширина и форма линий излучения

Все изложенное в 1.3 относилось к оптическим переходам, происходящим на фиксированной длине волны (частоте). Практика показывает, что реальные линии излучения и поглощения имеют конечную ширину. Рассмотрим причины этих явлений.

1.4.1. Естественная ширина и форма линий излучения

При естественных условиях частицы изолированы друг от друга, отсутствуют взаимодействия с другими частицами ансамбля. В основе получения выражения для естественной ширины спектральной линии лежит соотношение Гейзенберга или принцип неопределенности, который можно сформулировать следующим образом. Импульс p = mυ движущейся со скоростью  υ частицы и ее координата х = υt не могут быть определены одновременно с точностью, превышающей некую малую постоянную величину – приведенную постоянную Планка . Соотношение Гейзенберга записывается в виде: . Дифференциалы (неопределенности) импульса и координаты, соответственно, равны dp = mdυ и dx = υdt. Учтем эти выражения и перепишем соотношение Гейзенберга в другой форме: