Оптическое излучение, страница 8

.                    (1.1)

Последняя дробь в (1.1) получена с учетом соотношения для концентраций частиц:    . Если предположить далее, что в условиях ТДР Т→ ∞, то и уровень излучения должен бесконечно возрастать, а следовательно, и w_ν → ∞. В выражении (1.1) числитель А₂₁ = 1/t₂ – конечная величина,   Тогда для выполнения условия ω_ν → ∞ требуется, чтобы В₁₂g₁/g₂ = В₂₁, откуда получается первое соотношение для коэффициентов Эйнштейна:

                                                   .                                             (1.2)

На практике наиболее часто реализуется условие  g₁  = g₂ = 1 и  (1.2) трансформируется к виду B₁₂ = B₂₁.

Для установления связи между коэффициентами Эйнштейна для оптических процессов спонтанного и индуцированного излучения воспользуемся (1.1) и (1.2), полагая  B₁₂ = B₂₁:

                                     .                                         (1.3)

Из (1.3) можно установить связь между А₂₁ и B₂₁ , если каким-либо образом выразить  через параметры излучающей системы. Эйнштейн воспользовался известным к тому времени выражением для плотности мощности излучения нагретого тела. В условиях ТДР оптическое излучение идеального (абсолютно черного) нагретого тела с высокой точностью описывается формулой Планка:

 ,

где  – спектральная плотность мощности в масштабе длины волны для абсолютно черного тела (АЧТ).

Можно найти связь между  и  ,   используя соотношения между спектральными плотностями мощности и энергии для ненаправленного потока: I_λ|_{n = 1} = , а также между спектральными плотностями мощности в масштабах длины волны и частоты . Для объемной спектральной плотности энергии  АЧТ в масштабе частоты можно записать

                           .                               (1.4)

             Сравнив (1.3)  и (1.4), получим:    

                                                     .                                                     (1.5)

Выражение (1.5) называют вторым соотношением между коэффициентами Эйнштейна. Соотношения между коэффициентами Эйнштейна, несмотря на кажущуюся простоту, являются базовыми для квантовой электроники.

1.3.5. Анализ соотношений между коэффициентами Эйнштейна

1. Из первого соотношения для коэффициентов Эйнштейна: B₁₂ = B₂₁ следует, что при w_ν = const (t), различие в количестве индуцированных излучательных и поглощательных переходов в единицу времени в единичном объеме будет определяться только отличием концентраций частиц на соответствующих энергетических уровнях. В условиях ТДР, когда n₁ > n₂, поглощение будет всегда превалировать над излучением: n₁B₁₂w_ν > n₂B₂₁w_ν.