Синусоидальные режимы в однородных линиях. Часть I. Параметры. Уравнения. Режимы: Учебное пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

В. С. ЛИТВИНОВА, Н. В. МЕЩЕРЯКОВ

CИНУСОИДАЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ

В ОДНОРОДНЫХ ЛИНИЯХ

Часть I. Параметры. Уравнения. Режимы

 

Рязань 2005

Федеральное агентство по образованию

Рязанская государственная радиотехническая академия

В. С. ЛИТВИНОВА, Н. В. МЕЩЕРЯКОВ

CИНУСОИДАЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ

В ОДНОРОДНЫХ ЛИНИЯХ

Часть I. Параметры. Уравнения. Режимы

Учебное пособие

Рязань 2005

УДК 621.372.2

Синусоидальные режимы в однородных линиях. Часть I. Параметры. Уравнения. Режимы: Учеб. пособие / В. С. Литвинова,    Н. В. Мещеряков; Рязан. гос. радиотехн. акад. Рязань, 2005. 24 с.

Рассматриваются параметры однородных линий и синусоидальные режимы в них. Приводятся основные характеристики и расчетные соотношения.

Предназначено студентам второго курса дневного отделения, изучающим дисциплины ²Основы теории цепей², ²Теоретические основы электротехники² и ²Электротехника и электроника².

Ил. 12.

Однородная линия, погонные параметры, волновое сопротивление, постоянная распространения линии, линия без потерь и без искажений, стоячие и бегущие волны

Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанской государственной радиотехнической академии.

Рецензент: кафедра теоретических основ электротехники РГРТА (зав. кафедрой А. П. Мишачев)

                     Л и т в и н о в а       Варвара    Сергеевна 

           М е щ е р я к о в     Николай   Владимирович

Синусоидальные режимы в однородных линиях

Редактор Е. В. Ипатова

Корректор С. В. Макушина

Подписано в печать                Формат бумаги 60х84 1/16.

Бумага газетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1,5.

Уч. - изд. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ

Рязанская государственная радиотехническая академия.

390005, Рязань, ул. Гагарина, 59/1.

Редакционно-издательский центр РГРТА.

                                             ©         Рязанская государственная

                                                       радиотехническая академия, 2005

1. Уравнения однородной линии. Погонные параметры

Однородная линия (рис. 1) является типичным примером электрической цепи с распределенными параметрами, в которой электрическое поле, магнитное поле и преобразование электромагнитной энергии в тепловую существуют вместе и изменяются во времени и пространстве.

 

Рис. 1

Рассчитать режим в однородной линии в общем случае - значит получить ток и напряжение как функции двух переменных (координаты и времени) - i_a (x, t), u_a (x, t). Для этого требуется решить телеграфные уравнения (1) – систему дифференциальных уравнений в частных производных (см. прил. 1)

                               (1)

Сущность телеграфных уравнений состоит в том, что скорость убывания (знак ²-²) напряжения по линии в направлении распространения обусловлена продольными погонными параметрами R₀, L₀, а тока - поперечными G₀, C₀.

Погонными параметрами являются:

– Погонное активное сопротивление R₀, Ом/м, - активное сопротивление прямого и обратного проводов отрезка линии длиной в 1 метр.

1 метр.

– Погонная индуктивность L₀, Гн/м, - индуктивность петли, образованной прямым и обратным проводами отрезка линии длиной в

– Погонная активная проводимость G₀, См/м, - активная проводимость между проводами за счет утечки из-за несовершенства изоляции отрезка линии длиной в 1 метр.

- Погонная емкость C₀, Ф/м, - емкость между прямым и обратным проводами отрезка линии в 1 метр.

Линию называют однородной, если погонные параметры остаются неизменными по всей ее длине.

2. Расчетные    соотношения   и    параметры    однородной    линии

в установившемся синусоидальном режиме

В результате расчета установившегося синусоидального режима достаточно получить зависимости комплексов тока и напряжения от координаты -,. Поэтому сначала представим телеграфные уравнения (1) в комплексной форме с учетом того, что синусоидальная функция является мнимой частью вращающегося вектора

.

                      (2)

После подстановки (2) в (1) поменяем порядок операций дифференцирования и взятия мнимой части.

   ®

                                                                      

                                                                                                                       .

Так как мнимые составляющие вращающихся векторов в левой и правой частях уравнения равны, то равны и сами векторы

 ® .

- телеграфные уравнения    в комплексной форме для      (3)    произвольного сечения ²а ²    с координатой х,

где , Ом/м, и , См/м - комплексные погонные параметры линии

(4)

Продифференцировав первое уравнение системы (4) и подставив в него  из второго, получим      ®

волновое уравнение однородной линии          (5)

Корни соответствующего характеристического уравнения  p² =  будут p_1,2 = ±  и поэтому решение волнового уравнения (5) для напряжения представляется в виде двух волн

.                           (6)

Величину  называют постоянной распространения однородной линии                                                                             (7)

Решение для тока получим из первого уравнения (3) и решения (6)

, т.е.

 .                        (8)

Величину называют волновым сопротивлением линии

 , Ом                          (9)

Для установления соотношения между величинами отраженной и падающей волн вводят понятие коэффициента отражения от нагрузки                                             .                                      (10)

Из (6) и (8) выразим  и

  

          ®                                                          (11)

Выводы

1. Напряжение и ток в линии состоят из двух волн – падающей и отраженной (прямой и обратной). Знак ²-² у отраженной волны тока (8) объясняется тем, что положительное направление тока выбрано от генератора к нагрузке.

2. В волне (падающей или отраженной) напряжение и ток жестко связаны волновым сопротивлением (9) по закону Ома

.

                                (12)

Заметим, что полные напряжение и ток связывает не , а входное сопротивление линии

.

3. Режим в любом сечении линии (, ) рассчитывают по соотношениям (13), (14), полученным из решений (6), (8) путем выражения постоянных интегрирования  и  через граничные условия: ,  на входе (x = 0) и ,  на выходе (x¢ = 0).

3.1. x=0 ®(6) и (8).

- расчетные соотношения  для режима  в произвольном сечении  ²а²  через известный режим на входе

  (13)