Основы теории рентгенографических исследований. Физические принципы рентгеноструктурного анализа глобулярных белков (Разделы 1-2 учебного пособия "Рентгенография биологических объектов"), страница 4

На основе геометрического анализа было установлено, что существует тридцать две различные группы симметрии, в соответствии с чем все кристаллы были разделены на 32 класса или 32 вида симметрии. В свою же очередь классы с общими характерными особенностями симметрии объединяются в системы или сингонии. В результате кристаллы можно разделить на основе реализующейся в них высшей поворотной симметрии на семь кристаллических сингоний. В табл. 2.1 представлены сингонии кристаллов, а также комбинации элементов симметрии, соответствующие 32 видам симметрии.

Таблица 2.1

Сингонии и классы симметрии кристаллов

Сингонии	Классы симметрии	Основные элементы симметрии
Триклинная	1,	Нет элементов симметрии
Моноклинная	m, 2, 2/m	Ось второго порядка или плоскость симметрии
Ромбическая	2mm, 222, 2/m, 2/m, 2/m	Три взаимно-перпендикулярные оси 2-го порядка или две взаимно-перпендикулярные плоскости симметрии
Тетрагональная (или квадратная)	4, , 4/m, 2m, 4mm, 422, 4/m 2/m 2/m	Одна ось 4-го порядка поворотная или инверсионная
Тригональная (или ромбоэдрическая)	3, m, 32, 2/m	1 ось 3-го порядка поворотная или инверсионная
Гексагональная	6, , 6/m, m2, 6mm, 622, 6/m 2/m 2/m	1 ось 6-го порядка поворотная или инверсионная
Кубическая	23, 2/m3, 3m, 432, 4/m, 2/m	4 оси 3-го порядка по диагоналям куба

В таблице приняты следующие обозначения:

х (1, 2, 3, 4, 6) – поворотная ось;

 () – инверсионная ось () (в обоих случаях в скобках указаны возможные значения величин х и , приведенные в табл.);

х/m – поворотная ось, перпендикулярная к плоскости симметрии;

хm – поворотная ось с вертикальной плоскостью симметрии;

 – инверсионная ось с вертикальной плоскостью симметрии;

х2 – поворотная ось с перпендикулярной к ней осью второго порядка.

Как отмечается в литературе, единственные операции, которые требуются в кристаллографии белков, – это х и х2. Укажем также, что каждой сингонии соответствует геометрическое тело, имеющее максимальную, возможную для данной сингонии, симметрию. Поэтому для каждого кристалла за координатные оси принимают основные векторы геометрического тела, характеризующего класс симметрии.

Любой точке с координатами x, y, z соответствует совокупность эквивалентных точек, получающихся с помощью операций симметрии группы. Так, в классе моноклинной системы 2/m (ось 2-го порядка совпадает с вектором ) точке с координатами x, y, z соответствуют эквивалентные точки ; ; .

В группе кубической системы с максимальной симметрией имеются 48 эквивалентных точек. Отсюда вытекает, что мотив из идентичных атомов с такой симметрией в общем случае должен состоять из 48, 96, 192 и т.д. атомов. Отметим, что число эквивалентных точек уменьшается, если исходную точку взять в каком-либо частном положении, например на оси или в плоскости симметрии. Что касается так называемой центральной точки любой точечной группы, то в ней сливаются все эквивалентные точки. Частные положения и число эквивалентных точек определены для всех возможных классов и играют важную роль в кристаллографии.

Если решетка содержит узлы только в вершинах элементарной ячейки, то ее называют простой или примитивной и обозначают Р. В такой решетке каждый узел в восьми вершинах ячейки принадлежит одновременно восьми соседним ячейкам. В связи с этим вводят понятие координационного числа, которое определяется числом ближайших соседей, окружающих данный узел.

Кроме примитивных решеток, можно построить другие решетки, которые удовлетворяют требованиям, предъявляемым к пространственной решетке. Например, если в кубической сингонии поместить узел в центр куба, то получается так называемая объемноцентрированная решетка I, которая сохраняет все элементы симметрии куба. Причем все узлы получившейся решетки имеют одинаковое окружение, и, следовательно, такое расположение удовлетворяет требованиям, предъявляемым к пространственным решеткам. Браве показал, как на основе примитивных ячеек для семи сингоний найти все решетки, имеющие одинаковую максимальную симметрию системы. Это осуществляется добавлением точки в центры граней или в центр примитивной ячейки для данной сингонии. Оказалось, что всего возможно 14 комбинаций, которые называют решетками Браве. На рис. 2.2 показаны схематически 14 решеток Браве и символы, которыми их обозначают.

Рис. 2.2. Четырнадцать пространственных решеток Браве:

1 – триклинная, 2 – моноклинная (примитивная), 3 – моноклинная базоцентрированная, 4 – ромбическая (примитивная), 5 – ромбическая базоцентрированная, 6 – ромбическая объемноцентрированная, 7 – ромбическая гранецентрированная, 8 – гексагональная, 9 – ромбоэдрическая,

10 – тетрагональная (примитивная), 11 – тетрагональная объемноцентрированная, 12 – кубическая (примитивная), 13 – кубическая объемноцентрированная, 14 – кубическая гранецентрированная

При подсчете числа частиц в одной элементарной ячейке частицу, расположенную в вершине элементарной ячейки, считают принадлежащей к ней на 1/8. Частицу, расположенную на ребре ячейки, учитывают при подсчете числа элементов структуры в ячейке с коэффициентом 1/4, а частицу, расположенную в грани, – с коэффициентом 1/2. В кубической объемноцентрированной решетке узел в центре куба целиком принадлежит элементарной ячейке.