Математика \ Высшая математика

Елементи теорії функцій комплексної змінної. Інтегральне перетворення Лапласа. Дискретне перетворення Лапласа, страница 7

Таким чином, тривимірна задача теорії пружності після застосування перетворення Лапласа зводиться до находження функції двох замінних Подальший розгляд цієї задачі виходить за межі цього посібника.

2.16 Підсумовування рядів

Розглянемо спосіб застосування перетворення Лапласа для підсумовування рядів.

Нехай треба знайти суму числового ряду

Таким чином, задача про підсумовування рядів зводиться до обчислення невласного інтегралу.

Розглянемо приклад.

Приклад. Знайти суму

Маємо

де - прості полюси.

Застосовуючи формулу розкладання (39) знайдемо

Тоді

Вправи. Знайти суми рядів:

2.17 Таблиця перетворень Лапласа

Таблиця 1

№ Оригінал Зображення

10.

11.

12.

13.

14.

15.

2.18 Питання для повторення матеріалу

1. Яким умовам повинна відповідати функція – оригінал?

2. Що таке інтегральне перетворення Лапласа?

3. Назвіть область існування перетворення Лапласа?

4. Що таке функція Хевісайда і яке воно має зображення?

5. Сформулюйте теорему лінійності для перетворення Лапласа?

6. В чому суть теореми запізнення, випередження і зсунення? Сформулюйте їх.

7. Як знаходиться зображення у випадку, коли оригінал є періодичною функцією?

8. Як змінюється оригінал при диференціюванні і інтегруванні зображення?

9. Сформулюйте граничні теореми для оригіналу і зображення.

10. Що називається згорткою функцій? Назвіть приклад використання цього інтегралу.

11. Сформулюйте теорему Бореля про згортку оригіналів.

12. Що таке інтеграл Дюамеля? Наведіть приклад використання цього оригіналу.

13. Приведіть формулу обернення.

14. Що є формулою розкладання? Приведить приклад використання цих формул для випадку простих і кратних полюсів.

15. Сформулюйте теорему про множення оригіналів.

16. Опишіть загальну схему використання перетворення Лапласа при розв’язку диференціальних рівнянь та систем.

17. Яким чином використовують перетворення Лапласа при підсумовуванні рядів? Наведіть приклади.

3 ДИСКРЕТНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ

ЛАПЛАСА

3.1 Функції цілочислового аргументу

Розглянемо функції f(k), аргумент яких є цілі числа

к=0, 1, 2, ... . Для того , щоб до цих функцій застосувати перетворення Лапласу, їх необхідно подовжити на весь інтервал З усіх можливих способів такала продовження зупинимось на одному.

Позначимо символом - найбільше ціле число, що не перевищує t. Наприклад, Кожній функції f(k) поставимо у відповідність східчасту функцію f([t]), що визначена на числовому інтервалі Для скорочення запису замість f([t]) будемо писати f[t].

Графіки функцій f(k) і f(t) показані на рис. 1 і рис. 2 відповідно.

Рис.1

Рис. 2

З означення випливає, що в точках t=k=0, 1, 2, …f[t]=f(k). В той же час, кожній функції f[t] можна поставити у відповідність східчату функцію f[t] і функцію цілочислового аргументу f(k). Очевидно, що кожну функцію f(k) можна розглядати як числову послідовність