Число R називається радіусом збіжності степеневого ряду і визначається по формулі
(11)
Найпростішим степеневим рядом є геометрична прогресія
(12)
Ряд (12) збігається при і його сума дорівнює
ТЕОРЕМА 2. (Вейєрштраса). Якщо члени ряда
(13)
що рівномірно збігається всередині області D, аналітичні функції в цій області, то сума ряда f(z) також є аналітичною функцією в області D. Крім цього ряди
(14)
отримані шляхом к – кратного диференціювання ряда (13), також збігаються рівномірно всередині D і являють собою похідні к – ого порядку від суми ряда f(z).
ТЕОРЕМА 3. Довільна функція f(z), аналітична в деякому крузі з центром в точці , може бути зображена всередині цього круга рядом Тейлора
, (15)
де (16)
і таке зображення єдине. Тут - коло з центром і радіусом
Доведення. На основі інтегральної формули коші (8) для довільої точки , маємо
де точка z лежить всередині контура . На маємо а з другого боку так як z лежить всередині
Використаємо розкладення
так як то останній ряд збігається рівномірно відносно
Далі
або f(z)=
де
Доведення єдності приводити не будемо.
Означення. Функція, ряд Тейлора якої збігається при довільних z, називається цілою функцією.
1.4 Ряди Лорана і особливі точки
Розглянемо функції комплексної змінної, які не являються аналітичними у всіх точках області визначення. Точки, в яких не виконують умови Коші – Рімана (2) будемо називати особливими. Нехай однозначна аналітична функція f(z) задана на області D, яка обмежена двома концентричними колами з радіусами R і r (R>r>0) з центром у точці . Виберемо два концентричні кола (рис. 2) і з центром в і радіусами і відповідно .
Рис. 2
Перетворюючи двозв'язну область , обмежену колами і в одно зв’язкову за допомогою розрізу mn і застосовуючи інтегральну формулу mn, будемо мати
(17)
У першому інтегралі використаємо розкладення у ряд , що збігається рівномірно відносно
У другому інтегралі
Далі, використовуючи ці ряди і формулу (17), одержимо
(18)
де
(n=1,2,...)
(n=0,1,2,…) (19)
Розкладання (18) з коефіцієнтами (19) називається рядом Лорана. Для аналітичної всередині D функції контури інтегрування і можна замінити одним контуром .
Фактично ми довели слідуючу теорему.
ТЕОРЕМА 1. (Лоран). Кожна функція f(z), аналітична в області D: r< зображуються в цій області рядом Лорана
(20)
де
(21)
Означення. Ряд називається головною частиною ряду Лорана, а ряд – правильною частиною ряду Лорана.
Означення. Точка називається полюсом m – ого порядку, якщо головна частина ряду Лорана містить скінчене число членів, при цьому . Якщо число членів нескінчене, то точка називається істотно особливою точкою.
Означення. Функція f(z) називається меломорфною, якщо її особливі точки є полюси і тільки вони.
Розкладання функції f(z) в області у ряд Лорана має вигляд
(22)
Приклад. Знайти ряд Лорана для функції
в області D:
Функція
Далі
Звідси .
Вправи. Розкласти функції у ряд Лорана:
1. в околі точок z=0 i z=.
2. в околі точок .
3. в околі точок і .
1.5 Теорема Коші про лишки
ТЕОРЕМА. Якщо однозначна функція f(z) аналітична в точці і в деякому її околі,то
де С – довільний контур із названого околу, що містить всередині точку
Хай точка особлива ізольована точка функції f(z). Тоді в околі функція f(z) може бути зображена рядом Лорана
Інтегруючи цей ряд і приймаючи до уваги, що
m=0, 1, 2, …,
n=2, 3, …,
одержимо
(23)
Означення. Значення інтеграланазива-
ється лишком функції відносно особливої точки .
Відповідно до формули (23) лишок функції f(z) дорівнює коефіцієнту . Лишок далі будемо позначати символом res f(z).
Хай точка є полюс першого порядку. Використовуючи ряд Лорана, знайдемо
або
(24)
Аналогічним чином, якщо точка є полюсом m – ого порядку, то
(25)
Розглянемо основні теореми про лишки. Хай в області аналітичності D функції f(z) маємо замкнений контур (рис. 3), всередині якого функція f(z) має скінчене число ізольованих особливих точок (v=1,2,…n). Розташуємо кожну із точок всередину достатньо малих замкнених контурів , що повністю лежать всередині контуру .
ТЕОРЕМА. Інтеграл від функції f(z), взятий по замкненому контуру , в додатному напрямку (при цьому належить області D, де функція однозначна і аналітична, за виключенням скінченого числа ізольованих особливих точок), дорівнює помножений на сумі лишків функції відносно усіх особливих точок всередині , тобто
(26)
Приклад. Знайти лишок функції відносно точки z=1.
Точка z=1 є полюс функції f(z) першого порядку. Відповідно формули (24) маємо:
Вправа. Знайти лишки функції f(z) відносно всіх особливих точок
1) 2) 3)
1.6 Питання для повторення матеріалу
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.