Елементи теорії функцій комплексної змінної. Інтегральне перетворення Лапласа. Дискретне перетворення Лапласа, страница 4

        Маємо

        Приклад 2. Знайти зображення функції, поданої на рис. 2.

Рис. 2.

        Функцію g(t) можна зобразити через узагальнену функцію Хевісада

        Далі, використавши теореми лінійності і запізнення, знаходимо

        ТЕОРЕМА 2 (випередження). Якщо  і , то

                                            (14)

        Доведення. Функція  описує фізичний процес, який починається на τ раніше ніж процес .

        Для доведення знайдемо зображення функції :

        Теорему доведено.

        ТЕОРЕМА 3 (зсунення). Якщо  довільне комплексне число і , тоді

                                                             (15)

        Доведення. Ця теорема дозволяє знаходити зображення функцій, що затухають з часом по експоненціальному законові.

        Маємо

        Теорему доведено.

        Приклад 3. Знайти зображення затухаючої функції

        Маємо

        Вправи.

1.  Використовуючи теорему запізнення знайти зображення функцій

1)

        2)          

        3)

2.  Знайти зображення періодичного з періодом Т прямокутного імпульсу f(t) величиною А і тривалості τ (рис. 3).

Рис. 3

3.  Використовуючи теорему зсунення, знайти зображення функцій

1)

4)

      2.4 Зображення періодичних оригіналів

Розглянемо періодичний оригінал f(t) з періодом Т, тобто f(t+T)=f(t) для всіх t > 0.

        ТЕОРЕМА 1. Зображення періодичного оригіналу f(t) з періодом Т знаходиться по формулі

                                                                (16)

де

                                                                (17)

        Доведення. Будемо мати

        Тобто

        Звідси

        Теорему доведено.

        Має місце і зворотна теорема. Її сформулює без доведення.

        ТЕОРЕМА 2. Оригінал f(t), зображення якого має вигляд (16), є періодичною функцією з періодом Т, що одержуються шляхом періодичного продовження функції.

із інтервалу  на числовий інтервал .

        Розглянемо деякі приклади.

        Приклад 1. Знайти зображення періодичної функції

        Для розв’язку цього прикладу побудуємо графік функції f(t):

Рис. 4

        Таким чином, ми маємо періодичну функцію з періодом Т = 2. Відповідно до формули (16) і (17) знайдемо

        Остаточно

        Приклад 2. Використовуючи формули (16), (17), знайти зображення функції f(t)=|sin t|.

        Функція |sin t| є періодичною функцією з періодом Т = π і її графік має вигляд

Рис. 5

        Для знаходження F(p) застосовуємо формули (16), (17)

        Остаточно

        Приклад 3. Знайти оригінал функції f(t) з данним зображенням

        Для знаходження оригіналу f(t) скористаємось зворотною теоремою 2.

        Таким чином

        Графік функції f(t) має вигляд

Рис. 6

        Вправи.

1.  Знайти зображення періодичних функцій:

1)

        2) 

        3)  

        2. Знайти зображення періодичних функцій, зображених графіками

1)

Рис. 7

2)

Рис. 8

3)

Рис. 9

4)

Рис. 10

2.  Знайти оригінал по зображенню

2.5  Теореми диференціювання і інтегрування оригіналу

        ТЕОРЕМА 1 (диференціювання оригіналу). Якщо і функції  є оригінали, то

де  

        Доведення. Використовуючи формули (2) і інтегрування частинами, знаходимо

        У півплощині  мають місце формули

,

тому

                             (18)

        Застосуємо формулу (18) до другої похідної

                                              (19)

        Застосовуючи формулу (18) (n-1) раз до n-ї похідної  будемо мати

           

        Теорему доведено.

        З а у в а ж е н н я 1. У пункті 1.1 було встановлено, що  Отже, якщо  є оригінал, то має місце формула

           

        З а у в а ж е н н я 2. Якщо f(0)=

то

                                                                 (22)

        Таким чином, у цьому випадку диференціювання оригіналу відповідає множенню зображення на відповідний степінь р.

        Приклад 1. Найти зображення виразу

        Застосовуючи формулу (2) будемо мати

        Далі, скориставшись теоремою лінійності зображення, одержуємо відповідь

        ТЕОРЕМА 2 (інтегрування оригіналу). Якщо

                        то               (23)

        Доведення. Розглянемо функцію  Очевидно, що ця функція Кусково – неперервна і  при t<0.

        Крім того,

        Отже, функція  є оригінал. Причому . Хай  Звідси по теоремі диференціювання оригіналу маємо

або

        Теорему доведено.

        З а у в а ж е н н я. Таким чином, операції інтегрування оригіналу відповідає поділ зображення на величину р.

        Приклад 2. Знайти зображення функції

        Скориставшись прикладом 2 пункту 2.4 маємо

       Далі, застосувавши до останньої формули теорему про інтегрування оригіналу, одержуємо

        Вправи. Знайти зображення для диференційних виразів:

2.6  Диференціювання і інтегрування зображення

        ТЕОРЕМА 1. Якщо то

                                                                (24)

        Доведення. У пункті 2.1 було показано, що зображення F(p) є аналітична функція в області  і має місце формула (7)

        Застосовуючи цю формулу (n-1) разів будемо мати

або

        Теорему доведено.

        Приклад 1. Знайти зображення функцій:

       

Маємо

2)  f(t)=t sin t.

Скористаємося формулою

        Будемо мати

        ТЕОРЕМА 2. Якщо функція  є оригінал і

        Доведення. Нехай  Звідси, по теоремі 1 цього пункту

        Про інтегруємо останню рівність в межах від p до q:

        Відомо, що при  Тому

або                                       

        Теорему доведено.

        Приклад 2. Знайти зображення функції

        Так як, то