Маємо
Приклад 2. Знайти зображення функції, поданої на рис. 2.
Рис. 2.
Функцію g(t) можна зобразити через узагальнену функцію Хевісада
Далі, використавши теореми лінійності і запізнення, знаходимо
ТЕОРЕМА 2 (випередження). Якщо і , то
(14)
Доведення. Функція описує фізичний процес, який починається на τ раніше ніж процес .
Для доведення знайдемо зображення функції :
Теорему доведено.
ТЕОРЕМА 3 (зсунення). Якщо довільне комплексне число і , тоді
(15)
Доведення. Ця теорема дозволяє знаходити зображення функцій, що затухають з часом по експоненціальному законові.
Маємо
Теорему доведено.
Приклад 3. Знайти зображення затухаючої функції
Маємо
Вправи.
1. Використовуючи теорему запізнення знайти зображення функцій
1)
2)
3)
2. Знайти зображення періодичного з періодом Т прямокутного імпульсу f(t) величиною А і тривалості τ (рис. 3).
Рис. 3
3. Використовуючи теорему зсунення, знайти зображення функцій
1)
4)
2.4 Зображення періодичних оригіналів
Розглянемо періодичний оригінал f(t) з періодом Т, тобто f(t+T)=f(t) для всіх t > 0.
ТЕОРЕМА 1. Зображення періодичного оригіналу f(t) з періодом Т знаходиться по формулі
(16)
де
(17)
Доведення. Будемо мати
Тобто
Звідси
Теорему доведено.
Має місце і зворотна теорема. Її сформулює без доведення.
ТЕОРЕМА 2. Оригінал f(t), зображення якого має вигляд (16), є періодичною функцією з періодом Т, що одержуються шляхом періодичного продовження функції.
із інтервалу на числовий інтервал .
Розглянемо деякі приклади.
Приклад 1. Знайти зображення періодичної функції
Для розв’язку цього прикладу побудуємо графік функції f(t):
Рис. 4
Таким чином, ми маємо періодичну функцію з періодом Т = 2. Відповідно до формули (16) і (17) знайдемо
Остаточно
Приклад 2. Використовуючи формули (16), (17), знайти зображення функції f(t)=|sin t|.
Функція |sin t| є періодичною функцією з періодом Т = π і її графік має вигляд
Рис. 5
Для знаходження F(p) застосовуємо формули (16), (17)
Остаточно
Приклад 3. Знайти оригінал функції f(t) з данним зображенням
Для знаходження оригіналу f(t) скористаємось зворотною теоремою 2.
Таким чином
Графік функції f(t) має вигляд
Рис. 6
Вправи.
1. Знайти зображення періодичних функцій:
1)
2)
3)
2. Знайти зображення періодичних функцій, зображених графіками
1)
Рис. 7
2)
Рис. 8
3)
Рис. 9
4)
Рис. 10
2. Знайти оригінал по зображенню
2.5 Теореми диференціювання і інтегрування оригіналу
ТЕОРЕМА 1 (диференціювання оригіналу). Якщо і функції є оригінали, то
де
Доведення. Використовуючи формули (2) і інтегрування частинами, знаходимо
У півплощині мають місце формули
,
тому
(18)
Застосуємо формулу (18) до другої похідної
(19)
Застосовуючи формулу (18) (n-1) раз до n-ї похідної будемо мати
Теорему доведено.
З а у в а ж е н н я 1. У пункті 1.1 було встановлено, що Отже, якщо є оригінал, то має місце формула
З а у в а ж е н н я 2. Якщо f(0)=
то
(22)
Таким чином, у цьому випадку диференціювання оригіналу відповідає множенню зображення на відповідний степінь р.
Приклад 1. Найти зображення виразу
Застосовуючи формулу (2) будемо мати
Далі, скориставшись теоремою лінійності зображення, одержуємо відповідь
ТЕОРЕМА 2 (інтегрування оригіналу). Якщо
то (23)
Доведення. Розглянемо функцію Очевидно, що ця функція Кусково – неперервна і при t<0.
Крім того,
Отже, функція є оригінал. Причому . Хай Звідси по теоремі диференціювання оригіналу маємо
або
Теорему доведено.
З а у в а ж е н н я. Таким чином, операції інтегрування оригіналу відповідає поділ зображення на величину р.
Приклад 2. Знайти зображення функції
Скориставшись прикладом 2 пункту 2.4 маємо
Далі, застосувавши до останньої формули теорему про інтегрування оригіналу, одержуємо
Вправи. Знайти зображення для диференційних виразів:
2.6 Диференціювання і інтегрування зображення
ТЕОРЕМА 1. Якщо то
(24)
Доведення. У пункті 2.1 було показано, що зображення F(p) є аналітична функція в області і має місце формула (7)
Застосовуючи цю формулу (n-1) разів будемо мати
або
Теорему доведено.
Приклад 1. Знайти зображення функцій:
Маємо
2) f(t)=t sin t.
Скористаємося формулою
Будемо мати
ТЕОРЕМА 2. Якщо функція є оригінал і
Доведення. Нехай Звідси, по теоремі 1 цього пункту
Про інтегруємо останню рівність в межах від p до q:
Відомо, що при Тому
або
Теорему доведено.
Приклад 2. Знайти зображення функції
Так як, то
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.