Елементи теорії функцій комплексної змінної. Інтегральне перетворення Лапласа. Дискретне перетворення Лапласа, страница 10

Лінійне різницеве рівняння m­го порядку може бути записано у вигляді

Δ^mf_k + b₁Δ^m­1f_k +...+ b_mf_k = g_{k                       (36)}

Використовуючи формули (3), (5) можна перейти від рівняння (36) до рівняння (35) і навпаки.

За допомогою дискретного перетворення Лапласа можна розв’язувати і системи різницевих рівнянь з постійними коефіцієнтами.

Приклад 1. Визначити порядок різницевого рівняння

Δ³f_k+2Δ²f_k+3Δf_k+2f_k=3^k

Відповідно до формули (1), (4)

Δf_k = f_k+1 ­ f_k

Δ²f_k = f_k+2 ­ 2f_k+1 + f_k

Δ³f_k = f_{k +3} ­3f_k+2+3f_(k+1) ­ f_k

Внаслідок маємо

f_k+3 ­ f_k+2+2f_k+1=3^k

або після заміни n = k+1

f_n+2 ­ F_n+1+2f_n = 3_n­1

Отже дане рівняння другого порядку.

Приклад 2. Знайти розв’язок різницевого рівняння 2f_k+2 ­ 5f_k+1 + 2f_k= при початкових умовах f₀ = f₁ = 0

Маємо

f_k → F(p)

f_k+1 → e^pF(p),

f_k+2 → e^2pF(p),

Операторне рівняння для функції F(p) має вигляд

Звідси

Застосовуючи до функції F(p) спосіб невизначених коефіцієнтів, маємо

Знаходячи коефіцієнти А,В, С, отримаємо

Відомо, що

,

Отже

f_k =

Приклад 3. Знайти загальний член послідовності чисел Фібоначчі: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,..., в якій кожний наступний член дорівнює сумі двох попередніх.

Нехай f_k – загальний член послідовності числа Фібоначчі. Відповідно до умов прикладу для f_k одержимо різницеве рівняння:

f_k+2 = f_k+1 + f_k

при початкових умовах f₀ = 0,f₁ = 1.

Будемо мати

f_k  f_k+1 f_k+2

Операторне рівняння

Звідси

За допомогою способу невизначених коефіцієнтів

де

або 

        Скориставшись формулою  знаходимо

        Приклад 4. Знайти розв’язок системи різницевих рівнянь

        Введемо позначення

        По теоремі випередження

        Система оперативних рівнянь має вигляд

        Звідси               

        Методом незвичайних коефіцієнтів одержимо

де   тобто

        Із відповідності

вирливає

        Тому

        Звідси

        Далі, застосовуючи теорему випередження, маємо

        Аналогічно

        Таким чином,

        Вправи. Знайти розв’язок різницевих рівнянь чи систем рівнянь:

       

4. Числа 1, 3, 8, 16, … утворюють арифметичну прогресію другого порядку. Це значить, що скінченні різниці другого порядку постійні. Знайти 101 – й член прогресії.

    

              

      3.11 Питання для повторення матеріалу

1.  Що таке решіткова функція?

2.  Що називається скінченою різницею k – ого порядку?

3.  Який існує зв’язок між скінченими різницями і решітковими функціями?

4.  Що таке дискретне перетворення Лапласа?

5.  Яким умовам новина відповідати решіткова функція, щоб було можливе D– перетворення?

6.  Як визначається обернене D– перетворення для простих і кратних полюсів зображення F(p)?

7.  Які основні властивості D– перетворення Ви знаєте?

8.  Сформулюйте теорему про диференціювання і інтегрування зображень.

9.  Одержати формулу для зображення скінчених різниць довільного порядку.

10. Що таке функція решіткових функцій?

11. привести приклад використання теореми про суму решіткових функцій для знаходження суми числового ряду.

12. Сформулювати теореми про згортку оригіналів.

13. Що відповідає згортці зображень решіткових функцій?

14. Одержати за допомогою теореми про згортку оригіналів формулу Парсваля.

15.  Що таке лінійне різницеве рівняння m– ого порядку?

16. На конкретному прикладі продемонструвати спосіб розв’язку лінійних різницевих рівнянь та систем. 

4 СЕМЕСТРОВІ ЗАВДАННЯ

      4.1 Семестрове завдання №1

        1.Використовуючи теореми лінійності і подібності, знайти зображення функцій:

1)

        2. Використовуючи теореми запізнення і зсунення, знайти зображення функцій

 

 

        3. Використовуючи теорему по зображення періодичних оригіналів, знайти F(p):

 1)

Рис. 1

2)

Рис. 2

3)

Рис. 3

4)

Рис. 4

5)

Рис. 5

де      

6)

Рис. 6

7)

Рис. 7

8)

Рис. 8

9)

Рис. 9

10)

Рис. 10

11)

Рис. 11

12)

Рис. 12

13)

Рис. 13

14)  

Рис. 14

15)

Рис.

 15

16)

Рис.16

17)

Рис. 17

18)

Рис. 18

19)

Рис. 19

20)

Рис. 20

21)

Рис. 21

22)

Рис. 22

23)

Рис. 23

24)

Рис. 24

25)

Рис. 25

        4. Використовуючи теорему диференціювання оригіналу, найти зображення виразів:

        5) Використовуючи теореми інтегрування і диференціювання зображення, знайти зображення функцій:

        6) Застосовуючи теорему про множення зображень, знайти оригінали для функцій F(p):

        7) Отримати оригінали f(t) для заданих зображень двома способами: а) застосовуючи формули розкладання; б) представляючи функцію F(p) як суму найпростіших дробів.

 

        8. Застосовуючи безпосередньо перетворення Лапласа, або за допомогою інтеграла Дюамеля (де мають місце нульові початкові умови), знайти розв’язок диференціальних рівнянь:

        9. За допомогою перетворення Лапласа, знайти розв’язки системи диференціальних рівнянь:

      4.2 Семестрове завдання №2

        1. Використовуючи формули розкладання, знайти решіткову функцію  для функції F(p):

 

3.  Знайти зображення решіткових функцій :

        3. застосовуючи теореми диференціювання і інтегрування, знайти зображення для решіткових функцій:

        4. Знайти решіткові функцій  шляхом розкладання функцій F(p) на елементарні дроби:

5. Знайти розв’язок лінійних рівнянь чи систем: