Вычисление корней многочлена p(x) = x6 + 5x5 – 7x4 + 3x3 – 6x2 + x +12 различными методами. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

МИНИСИЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

Курсовая работа

по дисциплине “Вычислительная математика”

Факультет:     АВТ

Группа:          АМ-411

Студент:        Ерофеев С. С.

Вариант:        7

Проверил:     

Новосибирск, 2006

Содержание

Содержание. 2

1. Задание. 3

2. Вычисление корней многочленов. 4

2.1. Метод Ньютона – Радсона………………………………………………………………………………..4

2.2. Решение алгебраических уравнений методом Лобачевского…………………………………….11

3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) 18

3.1. Метод Адамса……………………………………………………………………………………………...18

3.2. Метод Адамса – Крылова………………………………………………………………………………...29

4. Заключение. 34

5. Литература. 36

1. Задание

Курсовая работа содержит две задачи из различных разделов вычислительной математики.

Первая задача посвящена вычислению корней многочлена p(x) = x⁶ + 5x⁵ – 7x⁴ + 3x³ – 6x² + x +12  различными методами, такими как: метод Ньютона - Радсона; метод Лобачевского, который в свою очередь включает в себя метод квадрирования и использование формулы Энке.

Вторая задача посвящена решению обыкновенных дифференциальных уравнений такими методами, как метод Адамса и метод Адамса - Крылова.

В заключительной части работы должны быть приведены результаты сравнения расчетов с результатами, полученными на основе применения математического пакета (любого из доступных) для непосредственного решения задачи. Должны быть сделаны выводы о проведенной работе, отмечены недостатки и достоинства алгоритмов, указаны (по возможности) перспективы развития проблем, связанных с данной задачей.

2. Вычисление корней многочленов

2.1. Метод Ньютона – Радсона

В основе метода лежит хорошо известный метод касательных (метод Ньютона):

.

Этот метод позволяет построить итерационную последовательность, сходящейся к корню уравнения . Как известно, для этого надо иметь достаточные условия сходимости (теорема 1).

Теорема 1. Пусть определена и дважды дифференцируема на , причем , а производные ,  сохраняют знак на . Тогда, исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству , можно построить последовательность 0, 1, 2, … , сходящуюся к единственному на  решению  уравнения .

Для оценки погрешности n-го приближения корня можно воспользоваться неравенством

,

где — соответственно, значения наименьшей по модулю первой производной, и значение наибольшей второй производной на отрезке .

Если задана погрешность  вычисления корня (т. е. корень вычисляется с точностью ), то итерационный процесс может быть прекращен, когда выполняется условие

.

В этом случае величина  принимается за приближенное значение корня, вычисленного с точностью .

Метод Ньютона (иногда его называют методом Ньютона-Радсона) наиболее эффективен, если известно хорошее начальное приближение для корня и в окрестности корня график функции имеет большую крутизну, что обеспечивает быструю сходимость метода.

Процесс нахождения корней полинома  по методу Ньютона имеет итерационный характер и состоит в понижении степени многочлена за счет удаления найденных уже корней. Пусть, например, найден один корень  (действительный). Тогда многочлен  можно разделить (без остатка) на :

,

и задача сводится к отысканию корней многочлена, степень которого на единицу меньше степени многочлена .

Метод Ньютона (применительно для полинома)

.

позволяет находить комплексные корни. В этом случае многочлен будет делиться без остатка на , где  и  — коэффициенты пары комплексных (сопряженных) корней  и .

Таким образом, можно последовательно определить все корни многочлена.