Вычисление корней многочлена p(x) = x6 + 5x5 – 7x4 + 3x3 – 6x2 + x +12 различными методами. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений, страница 4

Формулы (7) называются формулами Крылова и являются исходными для входа в табл. I.

4. Заключение

На практике в большинстве случаев найти точное решение возникшей математической задачи не удается. Это происходит главным образом не потому что мы не умеем этого сделать, а поскольку искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементарных или других известных функциях. Поэтому большое значение приобрели численные методы, то есть методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами. Решение, которое получено численным методом обычно является приближенным, то есть содержит некоторую погрешность. Даже если отсутствует погрешность во входных параметрах и при идеальном выполнении арифметических действий, все равно есть погрешность метода. В этом мы убедились, выполняя курсовую работу.

Для решения одной и той же задачи можно использовать несколько методов. Так для отыскания корней полинома были изучены методы Ньютона – Радсона и Лобачевского. Метод Ньютона – Радсона наиболее прост в алгоритме, но, тем не менее, метод Лобачевского позволяет более эффективно отыскивать комплексные корни.

Метод Ньютона – Радсона: этот метод является очень эффективным и точным методом вычисления корней многочлена, т. к. корни, найденные с его помощью, с точностью до 0,001 совпадают с корнями, найденными по методу ЛаГуэрре.

Метод Лобачевского: показал себя с одной стороны как универсальный метод, который позволяет определить не только все корни (причём практически одновременно), но и типы этих корней, при этом процесс вычисления всегда сходится.

Однако к числу недостатков данного метода стоит отнести его громоздкость алгоритмического описания и недостаточную точность при определении  корней с близкими и равными модулями.

Экстраполяцинное и интерполяционное семейства многошаговых методов Адамса – это численные методы с достаточно высокой степенью точности.

Приведём сводную таблицу результатов полученных при решении данной курсовой работы:

Методы решения	Результат, полученный при использовании данного метода		Результат, полученный при использовании стандартной функции Mathcad
Вычисление корней многочленов
1. Метод Ньютона-Радсона
2. Метод Лобачевского
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
	f1(y1,y2)=sin(y2)	f2(y1,y2)=cos(y1)	f1(y1,y2)=sin(y2)	f2(y1,y2)=cos(y1)
1. Метод Адамса	0.55 0.605 0.6643 0.7284 0.79749 0.87158 0.95059 1.03433 1.12246	-0.45 -0.409 -0.37751 -0.35566 -0.34365 -0.34161 -0.34955 -0.36741 -0.39499	0.55009 0.60463 0.66385 0.72791 0.79693 0.87095 0.94988 1.03353 1.12156	-0.45026 -0.40943 -0.37791 -0.35602 -0.34398 -0.3419 -0.34981 -0.36762 -0.39517
2. Метод Адамса-Крылова	0.55009 0.60461 0.66375 0.7284 0.79749 0.87158 0.95059 1.03433 1.12246	-0.45026 -0.40943 -0.37791 -0.35566 -0.34365 -0.34161 -0.34955 -0.36741 -0.39499

5. Литература

1. Методические указания к курсовой работе по дисциплине “Вычислительная математика”