Принцип работ, функции, алгоритм систем правления с отрицательной обратной связью, страница 11

   ^L    P(P+1/T)   ⁼ α  ^{(1-e    )  таблица, тогда}

         k x₀ T          _{-T / t                          -T/t}

^y(t)=    T        ^{(1-e      )=k x0(1-e  )}

Дифференциальное уравнение с помощью преобразований Лапласа преобразуется в алгебраическое, которое алгебраически разрешается относительно y(P) и делается обратное преобразование Лапласа.

По передаточной функции легко определить динамические, временные и частотные характеристики , и наоборот, по временным и частотным характеристикам можно определить передаточную функцию. Что важно для определения и описания динамики новых звеньев.

Классификация элементов по виду дифференциального уравнения.

a_n*(d ⁿ y(t)/dt ⁿ)+ a_n-1*(d ^n-1 y(t)/dt ^n-1)+… a₂*(d ² y(t)/dt ²)+ a₁*(d ¹ y(t)/dt ¹)+ a₀ y(t)=

b_m*(d^mx(t)/dt^m)+ b _m-1*(d ^m-1 x(t)/dt ^m-1)+… b₂*(d² x(t)/dt²)+ b₁*(d¹x(t)/dt¹)+ b₀ x(t)

 

 ^x(t)          _ДУ           ^y(t)

                 

В общем случае элементы (система уравнений) описывается д.у. n- го порядка, где n- старшая производная по выходной переменной.

Из условия физической реализуемости всегда выполняется условие  n ≥ m. Элементы системы обычно описываются уравнениями не выше 2-го порядка, поэтому р/м три элемента в левой части и три элемента в правой части. В зависимости от наличия этих элементов (если a_i и b_j равны 0, то элемент с данной производной отсутствует) характеристики и их реакция на выходной сигнал изменяется.

Различают следующие элементарные элементы (звенья)

1)  усилительное звено (не содержит производных х и у)

          a₀ y=b₀ x     следовательно      y=(b₀/a₀)*x=kx          y=kx

т.к. элемент не содержит производных, то в момент времени y_t=kx_t, т.е. значения у в момент t определяется только одним значением х и тоже в момент t .

Пример k=2

 x(t)                                                        x(t)

 2                                                            2

 

 1                                                            1

 

 x(t)                                                       x(t)

 

        

 

Обращаем внимание на то, что у в момент t зависит только от одного значения х в момент t.

Понятие о статической характеристике.

Наличие производных не равных нулю означает, что у «х» и «у» кроме их текущего значения x_t и y_t , не равны нули значения скорости, ускорения, ускорения ускорения и т.д. Это означает, что величины х  и  у  не стационарны и их значение цименяется во времени. Зависимость у от х  , когда их производная равна нулю называется статической характеристикой.

Пример 1:

Имеем рычаг, который может поворачиваться вокруг оси О, правый рычаг равен 1, левый -2 . При х=0, у=0 (рычаг расположен горизонтально).

Построим график:   в каждой экспериментальной точке рычаг находится в

стационарном состоянии, т.е. движение его прекращено.

6                                 Зависимость значения у от х в точках равновесия есть

                                   статическая характеристика   у= kх

4

 

2

                                                       l= 2                    l= 1

            1        2      3

Апериодическое звено 1-го порядка.

Содержит

  a₁(dy/dt)+a₀y=b₀x   приведем его к стандартному виду ( коэффициент при у равен 1)

  а₁     (d/dt) +у = b₀   х

  а₀                        а₀                                  

 T                         K

Разберемся с  размерностью коэффициентов уравнения. Без коэффициентов находится элемент у следовательно он определяет размерность всех элементов уравнения.

Возьмем и откроем кран батареи. Р/м зависимость между х и у в какие-то моменты времени до изменения х. х и у находятся в стационарном состоянии, т.е. их производные равны 0, согласно уравнению T(dy/dt)+ y=k*x           у₀=k*х₀.

В момент переходного периода, несмотря на то что х- const, у изменяется во времени, т.е нельзя сказать, что у в момент t равно k*x, т.к. при одном и том же х, и у изменяется.

После окончания переходного процесса х и у становятся постоянными и снова у=k*х. Во время переходного процесса у изменяется, его производная не равна 0 и работает уравнения     T(dy/dt)+ y=k*x

р/м особенности работы звена:

t_пр.=3T                               y→kx

Во время переходного процесса у определяется значениями х в момент t, значениями у  в предыдущих точках, т.е. данный элемент обладает памятью. Значение памяти равно 3Т.

При производной равной 0 остается уравнение: y=kx, т.е. данный элемент (звено) имеет статическую характеристику для каждого значения х, у движется к определенному положению, равному kх.

Вернемся к графику переходного процесса. На начальном участке у₀=kх₀, когда то давно был переходной процесс, у вышел на значение kх₀. После ступенчатого изменения х, у начало двигаться в новое равновесное положение.

 

                     x₁                                                                      kx₁

 

   х₀                                          kx₀

 

                                                             3 T

T(dy/dt)+ y=k*x

у₀=у _{начальное.}

y₁=а*у₀+b*x₀

y₂=а*у₁+b*x₁

y _k*1=а*у₀+b*x₀            a=e ^-∆t/T                b=k (1-a)