Принцип работ, функции, алгоритм систем правления с отрицательной обратной связью, страница 10

b₂=0 т.к. концентрация первого реагента равна 0

S*H*(d/dt)*C= ΔG₁  b₁ – ΔG  b₃ + ΔC  b₄

S*H*(d/dt)*C+ ΔC  b₄= ΔG₁  b₁ – ΔG  b₃ разделим обе части уравнения на b₄

S*H*(d/dt)*C+ ΔC  b₄= ΔG₁  b₁   –  ΔG  b₃

  b₄                                           b₄             b₄

  T                                           K₁            K₂

T(dC/dt)+C=K₁ ΔG₁- K₂ ΔG- дифференциальное уравнение 1-го порядка, которое показывает зависимость концентрации от расхода G₁ и G₂.

Численное решение дифференциального уравнения.

Р/м несколько численных методов решения д/у 1-го порядка:

1)  метод Эйлера

dy/dx ≈ Δy/Δx

Δy=k*x₀-y₀         Δx=x₁–x₀= h (шаг интегрирования)

(k*x₀-y₀)/h=f(x₀;y₀) , тогда значение искомой функции y₁ в точках х₁, равна

у₁=у₀+h*f(x₀;y₀)

x₁=x₀+h

формула для  i- го шага

у_i+1=у_i+h*f(x_i;y_i)

x_i+1=x_i+h

2)  модифицированный метод Эйлера (вариант №1)

у_i+1=у_i+h* f (x_i+h/2; y_i+[h*(x_i;y_i)]/2)

x_i+1=x_i+h

3)  модифицированный метод Эйлера (вариант №2)

у_i+1=у_i+h/2[f (x_i;y_i) + f (x_i+h; y_i+h*f(x_i;y_i)]

x_i+1=x_i+h

4)  метод Рунге-Кутта 3-го порядка

у_i+1=у_i+(k₁+4k₂+k₃)/6

k₁ =h* f (x_i; y_i)

k₂ =h* f (x_i+h/2; y_i+k₁/2)

k₃ =h* f (x_i+h; y_i+2k₂-k₁)

Решение д/у 1-го порядка классическим методом.

    x(t)               y(t)

_ДУ

T(dy/dt)+ y=k*x

Решим дифференциальное уравнение при постоянном входном сигнале:

1)  полное решение является суммой свободного и вынужденного решения

     y(t)=у_своб.(t)+у_вынуж.(t)          х(t)=const

2)  нахождение свободного решения

    T(dy/dt)+ y=0

    T_p+1=0                         p= - 1/T

    y_своб.(t)- зависит от корней характеристического уравнения

    y_своб.(t)=C₁ e ^pT= C₁ e ^–t/T

   3) нахождение вынужденного решения зависит от вида кривой части

    x(t)=L(t) e^kT           y(t)=M(t) e^kT

      Например:

                        L(t)=at²+at+a₀

                        x(t)=x₀     L(t)=a₀     k=0     e^0t=1

                       «у» ищется в виде const

                        y_b(t)=B=const

                        y_b(t)=B

                        y_b(t)=0- подставляем в уравнение

                        T*0+B=kx

                        B=kx        y_b(t)= kx 

4)  полное решение

     y(t)=C₁ e ^–t/T+kx

5)  найдем постоянную C₁ из условия : t=0

     y(0)=C₁ e ^–t/T+kx=C₁ +kx               C₁=y(0)-kx

6)  y(t)=C₁ e ^–t/T+ kx ( y₀-k x)e^-t/T+ kx=y₀ e^-t/T- k x e^-t/T+ k x=  y₀ e^-t/T- kx (1-e^-t/T)- решение дифференциального уравнения 

Дифференциальные уравнения и передаточные функции.

     В теории автоматического управления производится анализ поведения элементов и систем во времени. Для этого используются дифференциальные уравнения, передаточные функции и временные и частотные характеристики.

     В общем случае дифференциальные уравнения n- го порядка описывают зависимость y=A(x)

     x(t)                    y(t)

 

a_n*(d ⁿ y(t)/dt ⁿ)+ a_n-1*(d ^n-1 y(t)/dt ^n-1)+… a₂*(d ² y(t)/dt ²)+ a₁*(d ¹ y(t)/dt ¹)+ a₀ y(t)=

b_m*(d^mx(t)/dt^m)+ b _m-1*(d ^m-1 x(t)/dt ^m-1)+… b₂*(d² x(t)/dt²)+ b₁*(d¹x(t)/dt¹)+ b₀ x(t)

р/м символический метод решения, в котором используется принцип Лапласа. Есть два вида преобразований:

1)  прямой принцип преобразования

x(P)=₀∫^∞x(t)e^-Ptdt

2) обратный принцип преобразования

x(t)=1/2π ₀∫^∞x(P)e^Pdω

          Путем использования преобразований Лапласа дифференциальное уравнение преобразуется алгебраически, где переменная во времени x(t) преобразуется в переменную x(P) (Р- корень характеристического уравнения). Говорят: переменная из временной области переходит в комплексную. Решают алгебраическое уравнение относительно требуемой переменной y(t).

          Путем обратного преобразования Лапласа преобразуют x(P) в  x(t), т.е. находят временную область решения.

Примечание: обычно работу системы автоматического регулирования р/м из установившегося состояния, т.е. при нулевых начальных условиях, тогда уравнение Лапласа осуществляется заменой:

d/dt→P       dⁿ/dt→Pⁿ       прямое преобразование             L  ( y(t) ) = y(P)

                                         обратное преобразование          L^-1( y(t) ) = y(P)

Оператором  Р можно делать все арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление и др.

a_n*Pⁿ y(P)+ a_n-1* P ^n-1 y(P)+…a₁* P y(P)+ a₀ y(P)=b_m*Pⁿ x(P)+ b _m-1* P ^n-1 x(P)+…b₁* P x(P)+ b₀ x(P)

Имеем две переменные y(P) и x(P), в место  y(P) записываем f[x(P)]

d/dt=P

a_n*Pⁿ y(P)+ a_n-1* P ^n-1 y(P)+…a₁* P y(P)+ a₀ y(P)=b_m*Pⁿ x(P)+ b _m-1* P ^n-1 x(P)+…b₁* P x(P)+ b₀ x(P)

y(p)      b_nPⁿ+…b₁P+b₀

x(p)  ⁼  a_nPⁿ+…a₁P+a₀   ^{=   w(P)}

Отношение выхода к входу есть передаточная функция звена.

В комплексной плоскости имеет вид (при нулевых начальных условиях):

y(P)=W(P)*x(P)

W(P)-это аналог коэффициента передачи (оператор, показывающий преобразование одной точки в другую).

 

                                 .

                       .    .  .   .

.   .      ^. .  .

          . .

Пример: звено 1-го порядка   T(dy/dt)+ y=k*x

преобразуем по Лапласу        T P y(P)+y(P)= k x(P)

                                                   y(P)=W(P)*x(P)

                                                   W(P)=k/(T P+1)

              : реакция на скачек  x(t)=0   при t<0

                                                  x(t)=x₀ при t>0

                                                 x(P)=L(x₀)=x₀/P

                                                 y(P)=k x₀/[P(T P+1)]

произведем обратные преобразования Лапласа:

           _-1    k x₀                     k x_{0     -1}       1

^{y(t)= L}    P(T P+1)    ⁼   T   ^L    P(P+1/T)      

      _-1       1               1              _{α t}