Применение автоматов в современных технических системах, страница 9

Если φ изменяется  от до  , то Y*(z) описывает окружность бесконечно большого радиуса изменяясь от  до . Если при этом охватывает точку (-1,j₀), то система не устойчива.

Пример:

Раскроем неравенства:

1.   

2.   

3.   

Первые два условия выполняются при k>0 всегда (отр. обр. связь). Третье условие – ограничение по величине коэффициента усиления k:

______________

Оптимальное уравнение.

Задача дифференциального исчисления – отыскание экстремумов функций:

Задача вариационного исчисления:

              

Ответ: функция  f(x) – должна удовлетворять определённому дифференциальному уравнению.

Лемма1:

Если , где f(x) – фиксированная непрерывная в промежутке [x₀,x₁] функция, обращается в нуль для всякой функции η(x) непрерывной вместе со своей производной  и равна нулю на концах: η(x₀)= η(x₁)=0, то f(x) –тождественно равна нулю в промежутке  [x₀,x₁].

Доказательство:

Пусть _, тогда x: x=z  f(ε)>0. Вследствие непрерывности f(x) будет положительной на отрезке [ε₁,ε₂]:

Определим η(x):

что противоречит условиям теоремы.

Лемма2:

Если  , где f(x,y) – фиксированная в области В непрерывная функция, обращается в нуль для всякой η(x,y) непрерывной вместе со своими частными производными первого порядка в В и равной нулю на контуре L  в области В , то f(x) – тождественно равна нулю в области В. Положим, что f(x,y)= f(ε,ξ)>0.   Тогда она положительна в некотором круге радиуса ρ с центром (ε,ξ).

η(x,y)=

Уравнение Эйлера .

Будем считать F(x) непрерывной вместе с её производными до второго порядка в некоторой области В плоскости XY и при любых y^’ . Если фиксируем y=y(x), то функционал J получает фиксированное значение : y(x₀)=y₀, y(x₁)=y₁.

C₁ – класс функций, имеющих первую производную.

ε – окрестность кривой y=y(x)  ε , иногда добавляют:  ε , где ε – близость порядка.

Функционал J относительного экстремума для  и  и удовлетворяет условиям: y(x₀)=y₀, y(x₁)=y₁. Если величина J для y(x) не меньше его величины для других , находящихся в ε – близости и y(x₀)=y₀, y(x₁)=y₁.

Применяя Лемму будем иметь:

Раскрывая полную производную по x будем иметь:

- уравнение второго порядка, общий интеграл которого содержит две произвольные  постоянные, которые определяются из условий: y(x₀)=y₀, y(x₁)=y₁.

Если

Вариационная задача с ограничением.

Введём соответствия в обозначения: x→t      y→x       y’→x’

  при   x(t)φ(t)

В классическом вариационном исчислении считалось, что x(t)- экстремаль, x(t)+δx  x(t)-δx – вариации.

Для замкнутой области вывод уравнения Эйлера требует уточнения.

Экстремум можно искать обычным способом:

Или окончательного

 - уравнение Эйлера для исходного функционала. Экстремум функционала при наличии ограничения может достигаться на экстремалях, составленных из кусков кривых, удовлетворяющих условию Эйлера и ограничениям. Для полного решения нужно найти условия перехода к дугам на границах и обратно.

            Пусть экстремум функционала  – достигается на траектории (кривой), составленной из нескольких дуг. Пусть в т. t происходит переход экстремали на границу

 - вариация внутри области варьирования.

- вариация на границе области варьирования.

 т.к.

Теорема Лагранжа о среднем

, где a < c < b

Если  то

Условие может нарушаться лишь при =0

Постоянные интегрирования:

1. 2 const – начальная и конечная точки траектории
2. 2 const – точка излома
3. 2 const – производная в точке излома

Основная вариационная задача

                

            

Пример:            ,    ;     ,   , 

               

                

     

     

                u=1    x₂

                                            +1

                                                     x₁

                                            u=+1                                   

Ограничения характеристик состояния системы

,                           (1)

,          

ω₂                                          Пусть задано некоторое управление .

                1                           Подставив  в уравнение  найдем движение

    0                                       системы из    в 

                                        и заканчивая изменения

                              ω₁              

             

Нормальный вид ограничений

                              

Нелинейные преобразования характеристик. Тригонометрические преобразования.

      Для распространения методов классического вариационного исчисления расширим размерность задачи, введя дополнительные уравнения

  

                                                                    

                                                                      

                                                                      

                                                             Пример1.  ;   ;   ;

                                                                 Пример2.   ;   ;

                                                                 Пример3.   ;         ;   ;

Приведение задач неклассического типа к классическому типу вариационных задач.

      Пусть ,   , 

Состояние системы в момент можно представить изображающей точкой в замкнутой области Ν+Μ – мерного пространства. Границы замкнутой области определяются L уравнениями состояния .

      ,  ,  , 

    ,  

Введем дополнительные управления , которые обеспечат выполнение условий .

Математическая модель дополнительной системы: ,   .

      Пусть выбраны  и интегрированием определены , которые соответствуют дифференциальным уравнениям и ограничениям. Дополнительная система содержит Ν+Μ+L переменных, подчиненных модели дополнительной системы, в которой проблема односторонней вариации отсутствует.

Необходимые условия экстремума функционала в основной вариационной задаче.

          

- начальные положения

 - конечные положения

    - условия связи краевых координат

Найти в классе кусочно-непрерывных функций управления  и в классе кусочно-непрерывных функций координаты  удовлетворяющих в интервале  уравнениям f,g,ψ, которые сообщают интегралу J экстремальные значения.