Другие предметы \ Теория автоматического управления

Применение автоматов в современных технических системах, страница 2

b) для многозначной нелинейности

Минимизация ошибки

Среднее значение квадрата разности, где

В общем случае

- алгебра.

Для определения (см. в конце)

Пример. Система управления перевернутого маятника.

S(t) – линейное положение

φ(t) – угловое положение

m – масса маятника

М – масса тележки

Н – горизонтальная сила реакции

V – вертикальная сила реакции

Предположим, что H(t)≈0, т.к. m<<M и φ- мал.

Тогда система уравнений имеет вид:

Линеаризация:

- согласно исходному уравнению

В окончательном виде:

F/M=1 сек^-1 1/М=1 кг^-1

g/L’=11,65 сек^-2 L’=0,482 м.

Пример: Смесительный бак.

Расход F₁ Расход F₂

Конц. С₁ Концентрация С₂

V – объем

h С - концентрация

S - площадь

Расход F

Концентр. С

Баланс масс .
Баланс концентраций

Установившееся состояние

Пусть F₁=F₁₀+f₁

F₂=F₂₀+f+2

V=V₀+v

C=C₀+ξ

Пусть

F₁₀=0,015 м³/сек С₁=1 кмоль/м³

F₂₀=0,005 м³/сек С₂=2 кмоль/м³

F₀=0,02 м³/сек С₀=1,25 кмоль/м³

V₀=1 м³ θ=50 сек

Переходная матрица

- уравнение состояния.

Теорема 1. Для однородного уравнения , где А – постоянная величина, для всех t всегда существует решение,.

Переходная матрица является решением матричного дифференциального уравнения:

для всех t..

Теорема 2. Переходная матрица линейной дифференциальной системы имеет следующие свойства:

1) , ;

2) - неособая для всех ;

4) - сопряженная система.

Доказательство.

Теорема 3. Для линейного неоднородного дифференциального уравнения где B(t) и u(t) – кусочно-непрерывные функции, решение имеет вид

Рассмотрим систему с выходной переменной y=Cx.

Если , то

импульсная переходная функция.

Экспонента от

или

Почему использовали термин “ Экспонента от ”?

4. Решение уравнения при имеет вид:

Далее эвристически покажем, что можно рассматривать как бесконечный ряд

1. При

2. При почленном дифференцировании имеем:

Устойчивость линейных систем с постоянными параметрами

Рассмотрим где ). Система устойчива, если малые отклонения от положения равновесия, т.е. решения остаются малыми при сколь угодно большом увеличении времени и наоборот система неустойчива, если малые отклонения становятся сколь угодно большими.

Определение

Система устойчива, если евклидова норма остается ограниченной при , т.е. для любого и существует , такое что , то для .

Решение является асимптотически или абсолютно устойчивой, если

Решение является экспоненциально устойчивым, если

Устойчивость линейных систем с постоянными параметрами

где - собственные векторы, – скаляры, определяемые через .

Линейная система является устойчивой в смысле Ляпунова тогда и только тогда, когда все характеристические числа матрицы А имеют неположительные действительные части, и любому характеристическому числу на мнимой оси кратности m точно соответствует m собственных векторов матрицы А.

Задачи операционного исчисления.

Операционное исчисление Лапласа.

Оригинал и изображение.

Оригинал – любая функция действительного аргумента t, удовлетворяющая условиям:

а) кусочно - непрерывности за исключением конечного числа точек разрыва первого рода;

б)

в) существуют , такие, что для всех t

Изображение:

или

Пример.

, при .

Пример.

Теорема: Изображение оригинала определено в полуплоскости , где – показатель роста оригинала.

Действительная и мнимая части изображения

Простейшие свойства преобразования Лапласа

Линейность: ; =>

Подобие: и то

Запаздывание:

Пример

Система с постоянными параметрами является асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда все характерные числа матрицы А имеют строго отрицательные действительные части.

Дифференцирование оригинала

Интегрирование оригинала

Формула обращения

Изображение ;

Корни знаменателя , являющиеся полюсами дробно-рационального изображения ,Суть с кратностями . Если , , то

Теорема: если изображение является дробно-рациональной функцией со степенью числителя меньше степени знаменателя, имеющего корни кратности , то оригинал определяется следующим (см. выше) образом.