Другие предметы \ Теория автоматического управления

Применение автоматов в современных технических системах, страница 3

 - матрица усиления контура


Статические и астатические системы


r-y2 – ошибки системы управления.


при условии, что

Система является статической, т.е. имеет ошибку в установившемся состоянии, если числитель и знаменатель функции  имеют свободные члены не зависимые от p.

Если же функция  имеет нуль какого-либо порядка при p=0, то система является астатической первого порядка.

Система имеет астатизм порядка n, если передаточная функция имеет нуль порядка n.

Пусть

Типовые звенья систем автоматического регулирования

Передаточная функция

Каждый полином (числитель и знаменатель) может быть представлен в виде разложения на простые множители

Амплитудная частотная характеристика


Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика

Асимптотические логарифмические характеристики

Наклон


Ошибка


Колебательное звено


LC=T2   RC=2Tx  

Частотная характеристика

Подпись: w=w0
 


Корни характеристического уравнения

Если x=0, то a=0 b=1/T=w0

          

Логарифмическая характеристика

Подпись: Lg w

Подпись: 40 дб/дек

1)

2)

Интегрирующее звено

Uвх=Ri, ,

Подпись: V(w)

 


Подпись: -p/2

Дифференцирующее звено

W(p)=Tp

W(j), h(t)=Td(t)

Форсирующее звено первого порядка

W(p)=Tp+1

W(jw)=jTw+1

Усилительное звено

W(jw)=k, L(w)=k

Устойчивость. Определение устойчивости.

Задача: Рассмотрение поведения дифференциальных уравнений на длительном интервале времени.

Пусть уравнение состояния имеет вид .

Исследовать будем  при u(t)=0, x0(t) – номинальное решение

Определение: Пусть - дифференциальное уравнение с номинальным решением. Номинальное решение устойчиво по Ляпунову, если "t0 и "e>0 существует d(e,t0)>0 такое, что êêx(t0)-x0(t0)êê<d, êêx(t)-x0(t)êê<e "t>t0, )êê<d, êêx(t)êê=

 


Определение: номинальное решение x0(t) уравнения состояния x¢(t) является асимптотически устойчивым, если

А) оно устойчиво по Ляпунову

Б) "t0 существует r(t0)>0 такое, что при êêx(t0)-x0(t0)êê<r(t0)

Определение: Номинальное решение x0(t) уравнения состояния  является асимптотически устойчивой в целом (большом), если оно

А) устойчиво по Ляпунову

Б) для любого и "t0 êêx(t)-x0(t)êê®0 при t®¥

Три условия (случая):

  1. Ограниченность начального отклонения Þ Ограниченность дальнейшего отклонения.
  2. Ограниченность начального отклонения Þ сходимость к 0 дальнейшего отклонения (устойчивость в малом).
  3. Неограниченность начального отклонения Þ сходимость к 0 дальнейшего отклонения (устойчивость в большом).

Для нелинейных систем Þ устойчивость решений, а для линейных -устойчивость систем, т.к. если  и , то .

Определение: линейная динамическая система устойчива в определенном смысле (по Ляпунову, асимптотически как в малом так и большом), если травиальное решение устойчиво в этом смысле x0(t)º0.

Теорема. Линейная динамическая система  асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда она асимптотически устойчива в целом.

Теорема следует из безусловной продолжаемости решений.

Теорема: линейная динамическая система с переменными параметрами  является экспоненциально устойчивой, если существуют положительные константы a и b такие, что  "t>t0.

Устойчивость линейных систем с постоянными параметрами.

Рассмотрим систему

, где

Теорема: Линейная система с постоянными параметрами  является устойчивой в смысле Ляпунова тогда и только тогда, когда

А) все характеристические числа А имеют неположительные действительные части.

Б) любому характеристическому числу на мнимой оси кратности m точно соответствует m собственных векторов матрицы А.

Теорема: Динамическая система с постоянными параметрами  является асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда все характеристические числа матрицы А имеют строго отрицательные действительные части.

Например:

1.Смесительный бак.

: x1(t)=x1(0)e, x2(t)=x2(0)e

2. Перевернутый маятник

,

Подпространства устойчивых и неустойчивых состояний

Пусть k={1¸m}=M, êJê=êMê+êJ-Mê

m-количество характеристических чисел матрицы А с неотрицательной действительной частью матрицы А

n-m- количество характеристических чисел с отрицательными корнями.

Тогда подпространство RmÎRn будет подпространством неустойчивых состояний

Управляемость. Определение управляемости.

Постановка задачи: определение свойств динамической системы (функции ее параметров), при которых осуществим перевод системы из произвольного состояния x(0) в произвольное состояние , .

Определение : линейная динамическая система  будет полностью управляемой , если ее можно перевести из х(0) в х(1) за время .

новое конечное состояние.

Теорема. Линейная динамическая система полностью управляема, если она может быть переведена из начала координат в состояние х(1) за конечное время ().

Пример: смесительный бак имеет равные входные концентрации. Приращение концентрации С в этом случае неуправляемо.

Теорема: Линейная динамическая система  полностью управляема, если матрица Р=(В, АВ, А2В, …, Аn-1В) порождает n-мерное пространство.

В последовательности матриц В, АВ, А2В должна появиться матрица АlВ=ВL0+АВL1+…+Ад-1ВLl и далее Аl+1В=АВL0+АВL1+…+АlВLl. Вектор-столбцы матрицы АlВ линейно зависят от вектор-столбцов матрицы В АВ А2В …Аl-1В.

х(t1)-принадлежит линейному подпространству, порожденному вектор-столбцами АВ.

Если эти вектор-столбцы не порождают n-мерное пространство можно достичь только состояний меньшей размерности, поэтому система не является полностью управляемой. Если система полностью управляема, вектор-столбцы матрицы Р порождают n-мерное пространство.

Положим, что Р порождает n-мерное пространство. Тогда выбрав u(t) в коэффициентах , можно получить,что любому вектору

 будет удовлетворять указанное равенство

Подпространство управляемых состояний.

Лемма. Если вектор х принадлежит подпространству управляемых состояний, то вектор Ах также принадлежит этому подпространству

Скачать файл