Применение автоматов в современных технических системах, страница 7

Решение уравнения разности к определяется наиболее просто если уравнение разрешимо относительно функции .

Зададим к начальных условий при

Используя  вычислим последовательно   и все остальные значения  при . Пологая ,  вычисляем  при , т.е ,

т.е.                          

или                       

Решение является общим в том же смысле как решение линейного дифференциального уравнения.

Наряду с разностным уравнением относительно решетчатых функций  можно рассматривать уравнение относительно смещенных решотчатых фцнкций

Линейные разностные уравнения

1. - неоднородное разностное уравнение.

Будем считать, что функции определены при  и ограничены.

Уравнение 1 можно преобразовать к виду

         где

Коэффициент  без ограничения общности можно считать равным 1, а

Теорема 1.Если решетчатые функции  являются решениями линейного однородного уравнения  то функции  где  производные постоянные также являются его решениями.

 Теорема 2.Если решетчатые функции  линейно-зависимы,то при всех значениях ,при которых они определены обращаются в ноль.

Теорема 3.Если решетчатые функции  линейно независимые решения однородного разностного уравнения при  и  не обращается в ноль ни при одном , то определитель  не обращается в ноль ни при одном .

Линейные неоднородные разностные уравнения.

Общее решение линейного неоднородного разностного уравнения  равно сумме частного решения  и общего решения  однородного уравнения

 где  – произвольная постоянные, а  -решения однородного уравнения для которого

Доказательство:

                           

если  -решение неоднородных уравнений, то , тогда - однородное уравнение, а  его решение.

Пример:

:

Решение однородного уравнения

                                   

тогда

или

Разностные уравнения с постоянными коэффициентами.

Будем искать решение

 - хапрактеристическое уравнение разностного уравнения.

Найдем корни  - характеристического уравнения.

Если корни простые, то  - ре6шения разностного уравнения.

         

Если корни различны, то определитель не равен нулю и решетчатые функции независимы и решение имеет вид:

Если  и  - сопряженные комплексные корни

         и  - сопряженные комплексные константы

Системы разностных уравнений

Система разностных уравнений связывает решетчатые функции  и их разности вплоть до порядков  соответственно

               

Переходя к разности будем иметь:

Линейноя система разностных уравнений:

                                                                         

                                                                        

Уравнение импульсных систем автоматического регулирования

Системы автоматического управления в которых применяются импульсная модуляция называются импульсными системами автоматического управления.

Амплитудно импульсная модуляция – замена непрерывного сигнала  последовательностью импульсов с постоянным интервалом времени Т.

Пусть  - функция описывающая форму импульса, тогда

Устройство, в котором осуществляется модуляция называют импульсными элементами.

Одномерная импульсная система:

Н.Э – импульсный элемент

Н.Ч – непрерывная часть

Замкнутая импульсная система:

Многомерная импульсная система:

Синхронная система – система с совпадающими периодами импульсов.

Синфазная система – синхронная система, у которой совпадают моменты возникновения импульсов.

Составление уравнений импульсных систем:

1.  Описание дифференциальными уравнениями.

2.  Описание интегральным преобразованием:

В дальнейшем, полагая               будем иметь

                                   

Для описания импульсных систем применяют два вида уравнений:

1.  Описание с помощью разностных уравнений

2. 

Уравнения импульсной системы с одним импульсным элементом:

 - импульсное описание непрерывное части.

 - описание импульсного элемента.

                          

Здесь                 

Примем во внимание , что , а функция  обращается в 0 при  т.е. при

Но функция обращается в 0 также при , где  - ширина импульса

               

Уравнение разомкнутой импульсной системы можно записать:

Функции  можно придать определенный физический смысл, если ввести понятие о простейшем импульсном элементе.

Простейший импульсный элемент описывается

                                 

                                          

                         

Единичная ступенчатая функция.

           

Смещенная единичная ступенчатая функция

1).        2).          3).      

Основное и важное фильтрующее свойство

Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение исходного импульсного элемента, но не может быть воспроизведен никаким реальным устройством.

Реальный импульсный элемент можно представить в вид:

Непрерывный элемент с весовой функцией s(t) называют формирующим элементом.

                                              

 Простейший                   Формирующий элемент

импульсный элемент

Структурная схема разомкнутой импульсной системы

Импульсная система – последовательное соединение простейшего импульсного элемента, формирующего элемента и непрерывной части.

Непрерывная часть + формирующий элемент = приведенная непрерывная часть.

Если продолжительность импульса  мала , весовая функция приведенной непрерывной части  приближенно может быть заменена весовой функцией непрерывной части у-жимой на постоянных коэффициентах.

Вернемся к уравнению разомкнутой системы :

 при нулевых начальных условиях

      .

Введем относительное время .

Введем обозначения:

  ,   ,   .

  

Выражение импульсной переходной функции

    

Введем новую переменную  

Уравнение равно свертке функций  и умноженной на T.

Уравнение разомкнутой импульсной системы можно записать в виде:

    

Учитывая, что  =0 при  можно записать:

Пример:              

    

Вход системы:

где , 

Замкнутая импульсная система

Ошибка системы

- может иметь разрывы в момент квантования .