Применение автоматов в современных технических системах, страница 8

При определении решетчатой функции следует оговорить

 или   .

Будем считать предел справа, т.к. импульсный элемент формирует именно правое значение.

Полагая , окончательно находим:

.

Для определения  нужно это уравнение решить, что возможно, например, с помощью дискретного преобразования Лапласа.

Уравнение импульсных многомерных систем

Все импульсные элементы работают синхронно и синфазно.

 ,      

         

Пусть - фундаментальная матрица.

, при x(0)=0

,     .

Матрица , при     

            

Тогда уравнение импульсной системы можно представить как

  или  полагая

-уравнение ошибки

Z - преобразование.

Определение и условие существования.

Z-преобразование рассматривается применительно к сигналу с импульсной модуляцией.

при <0,

< – условие достаточное, но не необходимое. Если выбрать значения g(t) при t=nT, то существует  , где z=e

Это выражение с точностью до множителя T является полной аналогией непрерывного преобразования.

 , так как dt=T, а nT=t, поэтому дискретное преобразование Лапласа называют ещё обобщённым преобразованием.

Пример:  , 

Геометрическая прогрессия: a_n=a₁q^n-1; S_n=;                  

  - z-преобразование для непрерывной функции.

  - z-преобразование для непрерывной функции с запаздыванием.

В более общем виде условия существования z-преобразования для дискретной функции , , где n<0.

Нетрудно доказать сходимость ряда : Рассмотрим ряд , представляющий геометрическую прогрессию со знаменателем , которая сходится при q<1 или  и его сумма равна . Но каждый член , где =R=e^cT – радиус сходимости.

Связь z-преобразования с преобразованием Лапласа.

 - аналитическая дискретная функция.

 - дельта Функция.

Эта формула устанавливает связь между преобразованием Лапласа для непрерывной функции и соответствующим z-преобразованием.

Прямая интегрирования должна лежать правее полюсов G(λ) и левее . Равенство справедливо при Re p>c₀ – абсцисса абсолютной сходимости.

Вычислим интеграл с помощью вычетов.

Полюсы подынтегральной функции внутри контура интегрирования будут совпадать с , ; z=e^pT

С помощью этой формулы удобно определить z-преобразование по известному преобразованию Лапласа непрерывной функции.

Определение оригинала по известному z-преобразованию.

g(kT)

Если k>n и i >n , то в этой формуле все b_i при i>n и a_k пропадут:

Эти формулы позволяют, не производя каждый раз деления, определять дискретные значения функции оригинала для дробно-линейных преобразований z. Формулы очень удобны для вычислений и могут быть использованы для вычисления переходных процессов в непрерывных системах.

Теорема Котельникова.

Устанавливает эквивалентность непрерывного и дискретного сигналов.

Точная формулировка теоремы применима к непрерывным сигналам со спектром, ограниченным по частоте.

Допустим, что имеем непрерывный сигнал g(t), спектр которого G(ω) равен нулю при

Возможны 3 случая:

             1. 

              2. 

             3.   

            при

Определение и свойства преобразования с запаздыванием.

При σ→0 z-преобразование переходит в обычное z-преобразование.

1.

2.

3.

  

Определения и свойства w-преобразования.

z=e^pT – замена

wz+w=z-1w+1=z(1-w)   и тогда e^-at 

Некоторые теоремы z-преобразования.

Теорема линейности.

Теорема о начальном значении.

Теорема о конечном значении.

Передаточные функции.

       

Заметим, что  – не является z-преобразованием, соответствующим , хотя =.

Передаточные функции:

Φ*(z)=  - по выходному сигналу;

 Φ_ε*(z) =  - по ошибке;

С помощью этих передаточных функций выходной сигнал и сигнал ошибки в дискретные моменты времени могут быть вычислены по формулам:

                          

Если выражения разложить в ряд по z^-n     , то получим X(nT) и, соответственно, E(nT).

Для нахождения сигнала в любой момент времени необходимо ввести запаздывание.

Дифференцирующий цифровой фильтр.

Частотные характеристики непрерывного и цифрового дифференциаторов.

Если требуется более точное дифференцирование, то необходимо использовать более точную формулу:

Цифровые интеграторы.

В простейшем случае :

Можно осуществить более точное численное интегрирование:

Сравнение двух методов показывает, что:

1.  объём памяти одинаков;

2.  во втором случае больше на одну операцию суммирования.

Устойчивость дискретных следящих систем.

Определение устойчивости.

Дискретную систему будем называть устойчивой, если при ограниченном  входном сигнале выходной сигнал также ограничен.

Если g(iT)<M , то x(iT)<M₁

Для дискретной системы необходимым и достаточным условием устойчивости является ограниченность суммы  для всех σ:

 - достаточность

Для устойчивости дискретной следящей системы необходимо и достаточно, чтобы все корни знаменателя передаточной функции были расположены внутри единичного круга.

Алгебраический критерий устойчивости Шур-Кона.

В теории полиномов существует критерий отсутствия  корней по модулю больших единицы.

Если все детерминанты отличны от нуля, то этот полином не имеет нулей на окружности  и N  его нулей расположены вне этой окружности, причём N равно числу перемен знаков в последовательности: 1, Δ₁, Δ₂…, Δ_n.

                

Пример:, если n=2, a₀=1, a₁=A, a₂=И

Частотные критерии устойчивости.

Пусть  и  где , .

Для устойчивости дискретных систем достаточно, чтобы годограф знаменателя передаточной функции замкнутой системы охватывал начало координат n раз, где n- степень полинома. Разность между степенью полинома и числом оборотов годографа вокруг начала координат даёт порядок неустойчивости, т. е. число

Для определения устойчивости замкнутой системы по годографу устойчивой разомкнутой системы достаточно, чтобы годограф передаточной функции разомкнутой системы не охватывал точку (-1,j₀).

Число оборотов годографа вокруг этой точки равен порядку неустойчивости системы, т. е. числу корней k, .

1.  Годограф любой системы начинается  на действительной оси :

                     

2.  Если Y*(z) имеет полюс z=1:

      

при