Формула полной вероятности и вычисление вероятности события. Ковариация двух случайных величин, страница 7

В качестве ложного нуля С выберем варианту 2,5. В клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей выбранный ложный нуль, пишем 0; над нулем последовательно записываем –1; -2, а под нулем – 1; 2.

Выборочные условные моменты -го порядка определим по формуле

; ; ; .

; ;

;

Найдем центральные эмпирические моменты 3-го и 4-го порядка:

;

Найдем значения коэффициента асимметрии и эксцесс по соответствующим формулам:

;

в) оцените методом моментов или/и методом максимального правдоподобия по выборке параметры основных непрерывных распределений (равномерное, экспоненциальное, нормальное и пр.), оцените близость оценок теоретических распределений к выборочному; подберите качественное описание выборочного распределения теоретическим.

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Xi	0,15	-3,28	5,13	0,19	-40,44	11,06	-2,17	0	0,26
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
-7,68	0,33	-8,03	0,37	23,67	44,56	-1,62	42,31	2,62	21,84
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
-1,7	-0,49	-0,2	0,35	-32,11	13,72	-0,02	-1,95	-12,02	-7,96	-2,97

1)  экспоненциальное распределение: X~Exp(), .

.

2)  нормальное распределение: X~ . Параметр  состоит из двух компонент: .

, .

3)  равномерное распределение: X~R(a, b); q=(a, b).

, .

4)  гамма — распределение: X~, (λ>0, ) . . Оценки получаются из решения системы:

Визуально можно определить, что лучше всего подходит нормальное распределение.

г) Предположив, что выборка получена из нормального распределения, протестируем гипотезы равенства среднего нулю при неизвестной дисперсии; равенства среднего нулю при дисперсии, равной выборочной. При проверке гипотез будем использовать уровень значимости .

Протестируем гипотезы равенства среднего нулю при известной дисперсии. Предположим, что дисперсия известна и равна выборочной дисперсии. Выборочное среднее  и выборочная дисперсия  были вычислены в пункте б) данной задачи: , . Среднее квадратическое отклонение .

Проверим нулевую гипотезу  при конкурирующей гипотезе .

Найдем наблюдаемое значение критерия .

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид , поэтому критическая область – двусторонняя. Найдем критическую точку из равенства

. По таблице значений функции Лапласа находим .

Так как  - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, выборочная и гипотетическая средние различаются незначительно.

Проверим нулевую гипотезу  при конкурирующей гипотезе . Найдем критическую точку из равенства

. По таблице значений функции Лапласа находим .

Так как  - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, выборочная и гипотетическая средние различаются незначительно.

Проверим нулевую гипотезу  при конкурирующей гипотезе . Найдем критическую точку из равенства .

Так как  - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, выборочная и гипотетическая средние различаются незначительно.

Протестируем гипотезы равенства среднего нулю при неизвестной дисперсии. Выборочное среднее  и исправленное среднее квадратическое  были вычислены в пункте б) данной задачи: , .

Проверим нулевую гипотезу  при конкурирующей гипотезе .

Найдем наблюдаемое значение критерия .