Построение и преобразование структурных схем, описывающих систему управления. Дифференциальные и алгебраические уравнения, страница 6

вещественная часть                          мнимая часть

b_i ¹ 0  -  пара комплексно сопряженная

bi = 0  -  вещественные числа

a_i = 0  -  рассматривать не будем

Понятие о критериях устойчивости

Существует два вида критериев:

Алгебраические и частотные критерии устойчивости

Алгебраические:  это критерии Раута-Гурвица

Все коэффициенты характеристического уравнения должны быть одного знака

Произведение средних коэффициентов должно быть больше произведения крайних коэффициентов (для 3-го порядка).

В этом случае корни всегда имеют отрицательную вещественную часть.

  -  система будет устойчива

Посмотрим какая же в этом случае будет ошибка q:

F_q(p) =

Для определения величины ошибки используется предельная теорема:

1.  Статический режим

a_д(t) = a_дм = const

2.  Режим постоянной скорости

pa_д(t) = pa_дм = const

В первом случае статистическая ошибка равна 0

q_ст =0

Во втором скоростная ошибка:

q_ск =

Следовательно:   k =

Добротность по скорости:       k_W =  

Добротность по ускорению:    k_e =

Способы повышения устойчивости системы

1.  С помощью отрицательной обратной связи

2. 

С помощью звена последовательной коррекции

Вводим коэффициент k10

W(p) = k/(T_мТ_яр³ + Т_мр² + р)

W₁(p) =

F₁₀(p) =

12.03.99

1.  Применение к характеристическому полиному критерия Раута-Гурвица позволяет вычислить значение (максимально допустимое) коэффициента усиления k в передаточной функции W(p):

если К будет больше, то система будет неустойчивой.

2.  В соответствии с заданными требованиями к максимальным Dα_дм, D²α_дм, допустимой величине ошибки θ вычисляется значение добротности по скорости и добротности по ускорению (К_Ω и К_ε):

3.  Для того, чтобы система отвечала заданным требованиям по точности, необходимо, чтобы:

К ≥ К_Ω и К ≥ К_ε, тогда на заданной скорости ошибка будет приближенно равна заданной. Поэтому возникает проблема синтеза средств коррекции. Чем больше К, тем точнее эта система, тем меньше время переходного процесса, тем меньше запас устойчивости.

Кроме алгебраических критериев устойчивости существуют ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ:

ЛАХ – Логарифмические Амплитудные Характеристики используют частотные характеристики.

ФЧХ – Фазо-Частотные Характеристики, также используются с ЛАХ.

Мы будем иметь дело с ДСУ (динамической системой управления), а она относится к классу минимально фазовых характеристик. В этих системах (минимально фазовых) отсутствует внутренний источник энергии. И устойчивость можно увидеть в ЛАХ и ФЧХ.

Чтобы получить выражение для частотной характеристики достаточно знать к-ту передат. функцию и Р положит. равным jω:

Р = jω,

ω – частота (рад./с)

Можно говорить о частотном диапазоне, в котором работает ДСУ с такой частотной характеристикой. Лучше всего система работает при низких частотах. Чем выше частота, тем хуже справляется с ней система.

Метод ЛАХ позволяет использовать передаточные функции и соответствующие им амплитудные характеристики разомкнутых систем и соответствующие им им частотные характеристики для того, чтобы судить о динамических свойствах этих систем в замкнутом состоянии, в частности, об их устойчивости.

тогда частотная характеристика запишется в виде:

Логарифмические частотные характеристики будем строить на полулогарифмической плоскости (по оси абсцисс откладывается ω (1/с), по оси ординат – 20 lg W (jω), дб ).

20 lg /W(jω)/ = L (ω)

По оси ординат равномерно откладываются децибелы.

По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе, в декадах.

 Декада = удесятирению частоты.

Для построения логарифмической частотной характеристики, передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии надо представлять в следующем виде:

Используется только тогда, когда в знаменателе W(P):