Двухэлектронные квантовые системы, атом гелия и гелиеподобные ионы, страница 12

(28.10)

Коэффициенты *** определяют "вес" каждого из состояний в этой суперпозиции, а квадрат модуля *** есть не что иное, как вероятность перехода квантовой системы к моменту времени * из состояния * в состояние *.

Если возмущение действует какое-то конечное время и для достаточно больших * обращается в ноль, то в соотношениях (28.9) можно перейти к пределу ***. При этом

(28.11)

Мы видим, что с точностью до постоянного множителя величина *** совпадает с *** -- Фурье -- образом функции *** при ***. Следовательно, возмущение, дейстующее на квантовую систему, может вызвать переход из стационарного состояния * в состояние * только в том случае, если не равна нулю соответствующая Фурье-компонента возмущения (*(*)**).

В предельном случае *** из (28.11) следует, что ***. Это означает, что переход возможен только при ***, т.е. с сохранением энергии. Для невырожденных состояний это равносильно отсутствию перехода (система остается в том же состоянии).

Существует еще один предельный случай, когда при *** переход из состояния * в состояние * практически запрещен. Он возникает, если *** пренебрежимо мало меняет на интервале * *** (медленное, адиабатическое возмущение). Из общих свойств интегралов Фурье следует, что в этом случае компонента *** пренебрежимо мала.

2. Возмущения, гармонически зависящие от времени

Применим рассмотренную выше общую теорию к наиболее важному для нас случаю возмущения, периодического (гармонического) по времени. Пусть

(28.12)

где * и * -- операторы, не зависящие от времени. Тогда

(28.13)

Подставляя это выражение в (28.9) и выполнив интегрирование, получим

(28.14,а)

или

(28.14,б)

Мы увидим, что обе формулы (28.14,а) и (28.14,б) приводят к одному и тому же конечному результату.

Вывод этих формул предполагает малость величин ***. Однако при сколь угодно малом возмущении это требование может оказаться нарушенным, если частота возмущений силы ** окажется слишком близкой к частоте перехода ***, т.е. выполнено условие резонанса

*** .

Таким образом, если мы хотим остаться в области применимости теории возмущений, необходимо, чтобы отстройка от резонанса для каждой из частот перехода не была слишком малой. Этому требованию можно удовлетворить, пока мы имеем дело с дискретным спектром квантовой системы. Переходы в непрерывный спектр требуют особого рассмотрения.

3. Переход из дискретного спектра в непрерывный

Для переходов из дискретного состояния * в непрерывное состояние * формула (28.14,а) приобретает вид:

(28.15)

где ***; * -- непрерывный параметр (или совокупность параметров), определяющий стационарные решения в непрерывном спектре.

Эти решения нормированы на *-функцию:

***

Пусть ** -- граничная энергия, разделяющая дискретный и непрерывный участки спектра. Тогда при *** знаменатель первого слагаемого в формуле (28.15) можно сделать сколь угодно малым и при достаточно больших *(**) отбросить второе слагаемое по сравнению с первым. Тогда мы будем иметь

(28.16)

Для квадрата модуля этой величины, т.е. для вероятности перехода, получим

(28.17)

Это выражение в пределе больших * оказывается пропорциональным *, в чем можно убедиться следующим образом.

Рассмотрим предел

(28.18)

а также интеграл

(28.19)

Из этих соотношений следует, что функция

***

является одним из представлений *** -- дельта -- функции Дирака. Таким образом, при достаточно больших * выражению (28.17) можно придать вид:

(28.20)

Используя соотношение ***, придадим этому выражению общепринятую форму:

(28.21)

Разделив полученное выражение на *, мы придем к величине, зависящей только от характеристик квантовой системы, а также от вида действующего на нее возмещения. Величина

(28.22)

имеет смысл вероятности перехода за единицу времени из состояния * в интервал состояний (***). В этой формуле *-функция от энергетических переменных обеспечивает выполнение закона сохранения энергии при квантовых переходах. Переход возможен только при обращении в ноль ее аргумента, т.е. при выполнении равенства